很多时候自己学一些新知识的时候，总是会用到之前学过的知识点，但是由于有些点比较零散，不太能串成一条线。所以目前的我就准备遇到一个知识点便写出来回顾一下，积累多了再找个时间再汇个总，梳理一下给它串起来。话不多说！
今天就谈谈特征向量的正交性吧！
Let 's begin！
证明：设
λ
1
\lambda_1
λ1?,
λ
2
\lambda_2
λ2?是
A
A
A的两个不同的特征值，
α
1
\alpha_1
α1?,
α
2
\alpha_2
α2?分别是其对应的特征向量
即有：
A
α
1
=
λ
1
α
1
A
α
2
=
λ
2
α
2
A\alpha_1=\lambda_1\alpha_1\quad\quad\quad A\alpha_2=\lambda_2\alpha_2
Aα1?=λ1?α1?Aα2?=λ2?α2?
两边取转置：
α
1
T
A
=
λ
1
α
1
T
α
2
T
A
=
λ
2
α
2
T
\alpha_1^TA=\lambda_1\alpha_1^T\quad \quad\quad \alpha_2^TA=\lambda_2\alpha_2^T
α1T?A=λ1?α1T?α2T?A=λ2?α2T?
两式分别右乘
α
2
\alpha_2
α2?和
α
1
\alpha_1
α1?，则有：
α
1
T
A
α
2
=
λ
1
α
1
T
α
2
(
1
)
\alpha_1^TA\alpha_2=\lambda_1\alpha_1^T\alpha_2\quad\quad\quad\quad\quad\quad(1)
α1T?Aα2?=λ1?α1T?α2?(1)
α
2
T
A
α
1
=
λ
2
α
2
T
α
1
(
2
)
\alpha_2^TA\alpha_1=\lambda_2\alpha_2^T\alpha_1\quad\quad\quad\quad\quad\quad(2)
α2T?Aα1?=λ2?α2T?α1?(2)
再对
(
2
)
(2)
(2)式两端取转置有：
α
1
T
A
α
2
=
λ
2
α
1
T
α
2
(
3
)
\alpha_1^TA\alpha_2=\lambda_2\alpha_1^T\alpha_2\quad\quad\quad\quad\quad(3)
α1T?Aα2?=λ2?α1T?α2?(3)
由
(
1
)
?
（
3
）
(1)-（3）
(1)?（3）式得：
0
=
(
λ
1
?
λ
2
)
α
1
T
α
2
0=(\lambda_1-\lambda_2)\alpha_1^T\alpha_2
0=(λ1??λ2?)α1T?α2?
∵
λ
1
≠
λ
2
\because\quad\lambda_1\neq\lambda_2
∵λ1??=λ2?
∴
α
1
T
α
2
=
0
\therefore\quad \alpha_1^T\alpha_2=0
∴α1T?α2?=0
即
α
1
\alpha_1
α1?与
α
2
\alpha_2
α2?正交得证。
其证明的核心思想是取转置，两式左边构造成一致，做差后利用特征值不相同得出特征向量正交。
Amazing !这已经是第四篇博客了哈哈哈哈哈，我也没想到我还能继续写下去，为了写一篇优化算法的博客出来就会牵涉到好多小的知识点，所以我得先把这些小的知识写出来铺垫一下。接下来还有好几个碎片化知识点和一个优化算法的博客需要发出来，干就完事！(latax写公式确实还挺🆒)
如果解决了你的小困惑，希望一键三连支持一下！yeah!yeah!yeah!
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