动态规划：整数拆分，你要怎么拆？

 

整数拆分

给定一个正整数 n，将其拆分为至少两个正整数的和，并使这些整数的乘积最大化。返回你可以获得的最大乘积。

示例1:

• 输入: 2
• 输出: 1
• 解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1。

示例 2:

• 输入: 10
• 输出: 36
• 解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36。
• 说明: 你可以假设 n 不小于 2 且不大于 58。

思路

看到这道题目，都会想拆成两个呢，还是三个呢，还是四个....

我们来看一下如何使用动规来解决。

动态规划

动规五部曲，分析如下：

1.确定dp数组(dp table)以及下标的含义

dp[i]：分拆数字i，可以得到的最大乘积为dp[i]。

dp[i]的定义讲贯彻整个解题过程，下面哪一步想不懂了，就想想dp[i]究竟表示的是啥!

2.确定递推公式

可以想 dp[i]最大乘积是怎么得到的呢?

其实可以从1遍历j，然后有两种渠道得到dp[i].

一个是j * (i - j) 直接相乘。

一个是j * dp[i - j]，相当于是拆分(i - j)，对这个拆分不理解的话，可以回想dp数组的定义。

那有同学问了，j怎么就不拆分呢?

j是从1开始遍历，拆分j的情况，在遍历j的过程中其实都计算过了。

那么从1遍历j，比较(i - j) * j和dp[i - j] * j 取最大的。

递推公式：dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));

3.dp的初始化

不少同学应该疑惑，dp[0] dp[1]应该初始化多少呢?

有的题解里会给出dp[0] = 1，dp[1] = 1的初始化，但解释比较牵强，主要还是因为这么初始化可以把题目过了。

严格从dp[i]的定义来说，dp[0] dp[1] 就不应该初始化，也就是没有意义的数值。

拆分0和拆分1的最大乘积是多少?

这是无解的。

这里我只初始化dp[2] = 1，从dp[i]的定义来说，拆分数字2，得到的最大乘积是1，这个没有任何异议!

确定遍历顺序

确定遍历顺序，先来看看递归公式：dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));

dp[i] 是依靠 dp[i - j]的状态，所以遍历i一定是从前向后遍历，先有dp[i - j]再有dp[i]。

枚举j的时候，是从1开始的。i是从3开始，这样dp[i - j]就是dp[2]正好可以通过我们初始化的数值求出来。

所以遍历顺序为：

for (int i = 3; i <= n ; i++) { 
    for (int j = 1; j < i - 1; j++) { 
        dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j)); 
    } 
} 

举例推导dp数组

举例当n为10 的时候，dp数组里的数值，如下：

343.整数拆分

以上动规五部曲分析完毕，C++代码如下：

class Solution { 
public: 
    int integerBreak(int n) { 
        vector<int> dp(n + 1); 
        dp[2] = 1; 
        for (int i = 3; i <= n ; i++) { 
            for (int j = 1; j < i - 1; j++) { 
                dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j)); 
            } 
        } 
        return dp[n]; 
    } 
}; 

• 时间复杂度：O(n^2)
• 空间复杂度：O(n)

贪心

本题也可以用贪心，每次拆成n个3，如果剩下是4，则保留4，然后相乘，但是这个结论需要数学证明其合理性!

我没有证明，而是直接用了结论。感兴趣的同学可以自己再去研究研究数学证明哈。

给出我的C++代码如下：

class Solution { 
public: 
    int integerBreak(int n) { 
        if (n == 2) return 1; 
        if (n == 3) return 2; 
        if (n == 4) return 4; 
        int result = 1; 
        while (n > 4) { 
            result *= 3; 
            n -= 3; 
        } 
        result *= n; 
        return result; 
    } 
}; 

• 时间复杂度O(n)
• 空间复杂度O(1)

总结

本题掌握其动规的方法，就可以了，贪心的解法确实简单，但需要有数学证明，如果能自圆其说也是可以的。

其实这道题目的递推公式并不好想，而且初始化的地方也很有讲究，我在写本题的时候一开始写的代码是这样的：

class Solution { 
public: 
    int integerBreak(int n) { 
        if (n <= 3) return 1 * (n - 1); 
        vector<int> dp(n + 1, 0); 
        dp[1] = 1; 
        dp[2] = 2; 
        dp[3] = 3; 
        for (int i = 4; i <= n ; i++) { 
            for (int j = 1; j < i - 1; j++) { 
                dp[i] = max(dp[i], dp[i - j] * dp[j]); 
            } 
        } 
        return dp[n]; 
    } 
}; 

这个代码也是可以过的!

在解释递推公式的时候，也可以解释通，dp[i] 就等于 拆解i - j的最大乘积 * 拆解j的最大乘积。看起来没毛病!

但是在解释初始化的时候，就发现自相矛盾了，dp[1]为什么一定是1呢?根据dp[i]的定义，dp[2]也不应该是2啊。

但如果递归公式是 dp[i] = max(dp[i], dp[i - j] * dp[j]);，就一定要这么初始化。递推公式没毛病，但初始化解释不通!

虽然代码在初始位置有一个判断if (n <= 3) return 1 * (n - 1);，保证n<=3 结果是正确的，但代码后面又要给dp[1]赋值1 和 dp[2] 赋值 2，这其实就是自相矛盾的代码，违背了dp[i]的定义!

我举这个例子，其实就说做题的严谨性，上面这个代码也可以AC，大体上一看好像也没有毛病，递推公式也说得过去，但是仅仅是恰巧过了而已。

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