数据结构——HuffmanTree

Huffman tree基本术语

路径和路径长度

路径：在一棵树中，从一个结点往下可以达到的孩子或子孙结点之间的通路。结点的路径长度：从一个结点到另一个结点的路径上分支的数目。

结点的权及带权路径长度

结点的权:将树中结点赋予一个有着某种含义的数值。结点的带权路径长度：从根结点到该结点之间的路径长度与该结点的权的乘积。

树的带权路径长度

树中所有叶子结点的带权路径长度之和。

赫夫曼树（ Huffman tree ）

带权路径长度达到最小的二叉树即为赫夫曼树。在所有含 n 个叶子结点、并带相同权值的二叉树中，必存在一棵其带权路径长度取最小值的树，称为“最优二叉树”。构造 Huffman tree基本思想：使权大的结点靠近根根据给定的 n 个权值 {w1, w2, …, wn}，构造 n 棵二叉树的集合F = {T1, T2, … , Tn}，其中每棵二叉树中均只含一个带权值 为 wi 的根结点,其左、右子树为空树;在 F 中选取其根结点的权值为最小的两棵二叉树，分别作为左、

右子树构造一棵新的二叉树，并置这棵新的二叉树根结点的权值为其左、右子树根结点的权值之和;

从F中删去这两棵树，同时加入

刚生成的新树;

重复上述两步，直至 F 中只含一棵树为止。哈夫曼构造算法实现一棵有 n 个叶子结点的Huffman树有 2n-1 个结点采用顺序存储结构---一维结构数组

结点类型定义

typedef struct {
 ElemType elem; // 结点值
 int weight; // 权值
 int parent, lch, rch;
}HTNode, *HuffmanTree;

构造HuffmanTree

输入初始n个叶子结点：置HT[1..n]的weight值

进行以下n-1次合并，依次产生HT[i]，i=n+1..2n-1：

在HT[1..i-1]中选两个未被选过的weight最小的两个结点HT[s1]和HT[s2] (从parent = 0 的结点中选)修改HT[s1]和HT[s2]的parent值： parent=i置HT[i]：weight=HT[s1].weight + HT[s2].weight ,lch=s1, rch=s2

Status CreatHuffmanTree(HuffmanTree HT, int n){
 if (n = 1) // 结点数量不合法
 return ERROR;
 int m = 2 * n - 1;
 int i;
 int s1, s2;
 HT = new HTNode[m + 1]; // 0号单元未用，HT[m]表示根结点 
 for (i = 1;i ++i) {
 HT[i].lch = 0;
 HT[i].rch = 0;
 HT[i].parent = 0;
 for (i = 1;i ++i)
 // 输入权值
 cin HT[i].weight;
 for (i = n + 1;i ++i) {
 // 构造Huffman树
 Select(HT, i - 1, s1, s2); // 在HT[k](1≤k≤i-1)中选择两个其双亲域为0, 且权值最小的结点, 并返回它们在HT中的序号s1和s2
 if (s1 != 0 s2 != 0) {
 HT[s1].parent = i;
 HT[s2].parent = i; //表示从F中删除s1,s2
 HT[i].lch = s1;
 HT[i].rch = s2; //s1,s2分别作为i的左右孩子
 HT[i].weight = HT[s1].weight + HT[s2].weight; //i 的权值为左右孩子权值之和
 return OK;
}

哈夫曼树的应用哈夫曼编码

算法实现

Status CreatHuffmanCode(HuffmanTree HT, HuffmanCode HC, int n) {
 if (n = 1)
 return ERROR;
 int start, i;
 int f = 0, c;
 HC = new char* [n + 1];
 char* cd = new char[n];
 cd[n - 1] = '0';
 for (i = 1; i ++i) {
 while (f != 0) {
 // 从叶子结点开始向上回溯，直到根结点
 start = n - 1;
 c = i;
 f = HT[i].parent;
 if (HT[f].lch == c) cd[start] = '0';
 else cd[start] = '1';
 c = f;
 f = HT[f].parent;
 HC[i] = new char[n - start]; // 编码数组
 strcpy(HC[i], cd[start]);
 delete cd;
 cd = NULL;
 return OK;
}

重要结论

哈夫曼编码是不等长编码哈夫曼编码是前缀编码，即任一字符的编码都不是另一字符编码的前缀哈夫曼编码树中没有度为1的结点。若叶子结点的个数为n，则哈夫曼编码树的结点总数为 2n-1发送过程：根据由哈夫曼树得到的编码表送出字符数据接收过程：按左0、右1的规定，从根结点走到一个叶结点，完成一个字符的译码。反复此过程，直到接收数据结束
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