Computer Graphics note(1):变换
Computer Graphics note(1):变换
文章目录
- Computer Graphics note(1):变换
- 2D变换
- 1.Scale(缩放)
- 2.Shear(切变)
- 3.Rotate(旋转)
- 旋转矩阵的性质
- 4.Translation(平移) & 齐次坐标
- 仿射变换(affline transformations)
- 变换矩阵的结构性质
- 齐次坐标下的变换矩阵
- Scale:
- Rotation:
- Translation:
- 其他变换
- 1.Inverse Transform(逆变换)
- 2.Composite transform(复合变换)
- 结论
- 3.Decomposite transform(变换分解)
- 3D变换
- 前提(右手系)
- 齐次坐标表示
- 变换矩阵的结构性质
- 齐次坐标下的变换矩阵
- Scale:
- Translation:
- Rotation
- 2D变换
Computer Graphics note(1):变换
Games101清新脱俗，可惜没赶上直播。 官网：http://games-cn.org/intro-graphics/ 结合食用：Fundamentals of Computer Graphics (3rd Edition) or (2nd Edition)
2D变换
对于能写成X′=MX形式的变换，称为线性变换(Linear Transforms)，其中M为变换矩阵。
1.Scale(缩放)
基本的缩放就是沿着坐标轴进行的缩放，而对于xy轴任意比例缩放Sx,Sy?而言，其数学形式如下：
转换为矩阵形式(x,y)^T左边的矩阵为变换矩阵)如下：
例如下图为沿着xy轴都缩放0.5：
水平镜像也属于缩放操作，即Sx=?1,Sy=1,其矩阵表示如下：
2.Shear(切变)
切变只变化一边，如下图所示：
可见，上面是变化了x轴，其矩阵形式如下：
同理，对于变化y轴，其矩阵形式如下：
3.Rotate(旋转)
对于旋转而言，前提是默认绕原点旋转，方向为逆时针。x轴转转向y轴。 对于一个向量a,其与x轴夹角为α假设要将其旋转角度φ得到向量b,如下图所示(图来源:Fundamentals of Computer Graphics (3rd Edition) 6.1.3Rotation)：
其旋转矩阵如下：
推导过程1如下（来自Fundamentals of Computer Graphics (3rd Edition) 6.1.3Rotation）： 假设向量a的长度为r,则有
而b是a旋转得到的，所以长度相同，而其旋转角度为(α+φ)(α+φ)(α+φ),则有
将上面的式子带入下面的式子可以得到如下结果：
所以最终的旋转矩阵如下：
推导过程2(课程提及，辅助理解记忆)如下
考虑旋转矩阵对于任意点都适用，所以考虑几个特殊点的转换：(1,0)?>(cosθ,sinθ)，(0,1)?>(cosθ,?sinθ)。所以有下列关系:
从中可以得到如下结果,即为所求:
旋转矩阵的性质
考虑旋转R(?φ)，会发现等于RφT?,如下所示:
而从定义上看，R(?φ)=Rφ?1?，所以可以得到Rφ?1=RφT?，即旋转矩阵的逆等于其转置矩阵，也就是说旋转矩阵为正交矩阵(数学意义)。
4.Translation(平移) & 齐次坐标
对于平移而言，即使考虑只有平移的情况，我们也只能写成如下形式： 对于平移:
为了让平移和上面的线性转换统一，引入齐次坐标。对于2D变换，增加一个维度w，此时规定点和向量的齐次坐标表示如下：
即对于齐次坐标而言，(x,y,w)T(w!=0)表示的点即为(xw,yw,1)T(\frac{x}{w},\frac{y}{w},1)^T 则对于平移而言，其矩阵形式表示变为：
这样一来形式就得到统一，并且使用齐次坐标还能保证以下操作的正确性：
而对于point+pointpoint+pointpoint+point原本是无意义的，但是在齐次坐标下也能引申出其他意义，即两点相加为其中点，推导过程如下：
仿射变换(affline transformations)
仿射变换 = 线性变换 +平移，即为
使用齐次坐标表示如下：
上面两者是等价的，所以仿射变换是先进行线性变换然后再进行的平移。
变换矩阵的结构性质
值得一提的是，当表示的是2D仿射变换的时候，上面的变换矩阵才有如下性质：
- 最后一行为001
- 最后一列的头两个数tx,ty?必然表示平移
- 左上角四个数(abcd)\begin{pmatrix}a&b \\ c & d\end{pmatrix}(ac?bd?)表示线性变换
齐次坐标下的变换矩阵
Scale:
Rotation:
Translation:
其他变换
1.Inverse Transform(逆变换)
逆变换即为原变换的相反操作，逆变换对应的变换矩阵即在数学意义上的逆矩阵，如下图中M?1M^{-1}M?1即为逆变换对应的变换矩阵，且逆矩阵有个基本性质,即MM?1=IMM^{-1}=IMM?1=I,其中III为单位矩阵。
2.Composite transform(复合变换)
以下图为例子，假如想要从左边变换到右边的话，可以考虑的方式有先旋转再平移，或者先平移再旋转。
两种方式结果如下：
很明显，需要先旋转再平移，上面的变换过程用矩阵表示如下：
结论
- 以变换的顺序很重要，顺序不同结果也就不同。
- .变换矩阵应用的顺序是从右到左的。
上述结论可以推广，即当有N个变换矩阵A1 An?应用时，也是从右到左进行应用，同时因为矩阵满足结合律，所以我们可以先将前面的所有变换矩阵相乘(Ar=An???A2A1)，然后再应用，结果是不变的。如下：
值得一提的是由于矩阵都是3X3,所以即使前面的相乘，得到的矩阵Ar?仍然是3X3,也就是说一个矩阵也可以表示极为复杂的变换。
同时考虑仿射变换的性质，上面先旋转再平移也可以写成如下形式,结果不变:
3.Decomposite transform(变换分解)
变换的分解有多种多样，有时候不能一次性写出旋转矩阵，就可以将其分解，逐步应用变换矩阵来达到同样的效果。
例如考虑绕任意点ccc进行旋转，可以先将旋转中心移动到原点进行旋转之后再将旋转中心移动到ccc点。如下图所示:
其矩阵表示如下,应用过程从右到左： T(c)?R(α)?T(?c)
3D变换
前提(右手系)
以下变换考虑的都是右手系(参考右手螺旋定则，四指弯曲方向为x旋转到y方向，大拇指方向为z方向)。
齐次坐标表示
类比2D中引入齐次坐标的原因,3D中的平移也不能直接写成，所以对于3D变换，增加一个维度w，此时规定点和向量的齐次坐标表示如下：
同样的有对于齐次坐标而言，(x,y,z,w)T(w!=0)表示的点即为(xw,yw,zw,1)T(\frac{x}{w},\frac{y}{w},\frac{z}{w},1)^T
矩阵描述3D中的仿射变换如下：
变换矩阵的结构性质
和2D中一样，当表示的是3D仿射变换的时候，上面的变换矩阵才有如下性质：
- 最后一行为0001
- 最后一列的头两个数tx,ty，tz必然表示平移
- 左上角9个数(abcdefghi)\begin{pmatrix}a&b&c \\ d&e&f \\ g&h&i \end{pmatrix}???adg?beh?cfi????表示线性变换
齐次坐标下的变换矩阵
3D下和2D下的缩放和平移类似，但是旋转有些不同，
Scale:
Translation:
Rotation
先考虑只绕一轴进行旋转的情况(绕谁谁不变)，如下:
这里绕着y轴有所不同，这是因为我们使用的右手系，旋转方向默认逆时针的情况下，绕y轴，是z转向x方向，而矩阵定义的旋转顺序为xyz,即为x->y,y->z,x->z。
接下来简单总结一下一般情况绕任意轴下的3D旋转。
普通的3D旋转可以将其分解到绕xyz旋转，然后推导其公式(Rodrigues′RotationFormula)如下,其中n为旋转轴，α为旋转角，I为单位矩阵，这里默认沿着n旋转时，该轴是过原点的：
最右边的是向量叉积的矩阵形式。推导略。