线性代数--MIT18.06(三)
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3. 矩阵乘法和求解逆矩阵
3.1 课程内容：理解矩阵乘法和求解逆矩阵
3.1.1 矩阵乘法的四种方式
首先我们定义矩阵乘法
- 基本方法（行乘以列） 我们知道，矩阵
的
元为
的第
行与
的第
列的各元素相乘之和，即
的第
行与
的第
列点乘所得到的结果
- 行的角度 正如第一讲所说，从行的角度来看，即
的各行为
的各行的线性组合构成，
的各行的线性组合的系数为
的行的各个分量，即
其中，
是
的各个行向量
- 列的角度 正如第一讲所说，从列的角度来看，即
的各列为
的各列的线性组合构成，
的各列的线性组合的系数为
的列的各个分量，即
其中，
是
的各个列向量
- 列乘以行的角度 由于列向量乘以行向量得到的是一个矩阵，因此从列乘以行的角度来看，矩阵
乘以
得到的是
个矩阵之和，其中第
个矩阵由
的第
列乘以
的第
行得到。
- 块乘 矩阵乘法同样可以分块来乘，只要分块的大小能够使乘法有意义即可（相乘的分块的大小要相互匹配--可乘）
3.1.2 Gauss-Jordan法求逆矩阵
在第一讲的最后我们提到，如果系数矩阵
的逆矩阵
存在的话，
的解就可以由
到 ：
那么如何得到
？ 我们知道
的形式，只不过
为
的逆矩阵
,我们依然可以使用矩阵消元的形式来求解，只不过要比我们之前提到的矩阵消元多做一些消元而已，这就是Gauss-Jordan法。
以矩阵
为例
首先构建增广矩阵,之后逐步消元即可
上述过程我们有一个重要假设，那就是
存在，那么什么情况下它才存在呢？
- 直观的解释 从上消元过程的最后一步我们知道只有当 系数矩阵
能够消元到单位阵
，
存在，也就是说系数矩阵的各行或各列不能是线性相关的（某一 行/列 是其他 行/列 的线性组合）
没有非零解 当
有非零解的时候，可以判断
不存在，为什么呢？ 很简单的推理那就是，当
有非零解的时候，假设
存在，那么在等式两边都左乘
，即可得到 ，这与我们的前提假设存在非零解所矛盾，因此
不存在。
3.1.3 AB的逆，A的转置的逆
对于
和
我们也可以使用同样的推理方式
由此我们可知，只要知道了
的逆，那么
的转置的逆只需要将其转置即可
3.2 矩阵乘法习题课
2011年练习题
（http://open.163.com/movie/2016/4/5/B/MBKJ0DQ52_MBLPMC95B.html）
问：当
，
满足什么条件下矩阵
存在逆矩阵，并求解该逆矩阵。
解答
使用上述讲解的Gauss-Jordan法进行求解
由消元过程我们就知道
即可保证
的逆矩阵存在，且
3.3 矩阵运算基本法则
为标量（scalar）,
为任意矩阵，则矩阵运算的基本法则（rules of operations）如下
运算表示 | 备注说明 |
|---|---|
加法交换律 | |
加法结合律 | |
乘法结合律 | |
乘法结合律 | |
乘法结合律 | |
转置 | |
转置 | |
转置 | |
转置 | |
分配律 | |
分配律 | |
分配律 | |
分配律 |