线性代数--MIT18.06(五)
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5. 转置、置换和向量空间、子空间
5.1 A的LU分解中存在换行
■ 置换矩阵
继续上一讲的内容，由上一讲可知我们可以将系数矩阵 A 分解为下三角矩阵和上三角矩阵的乘积，但是我们给定了一个前提假设—— A 在消元过程中不做换行，这一次我们来解决如果在消元过程中存在换行的情况。
由矩阵乘法的定义我们知道，实际上对 A 换行，也可以由 A 左乘一个矩阵来完成，我们称 A 左乘的矩阵为置换矩阵（P, Permutation matrix）
由此我们得到
实际上单位阵就是一个置换矩阵，只不过它不对行进行更换，对于原分解过程我们可以这样理解
由此我们得到置换矩阵集合： 对单位矩阵 I 各行进行(或列)重排之后的矩阵集合。 这样对于给定的矩阵 A , 我们也能很快地知道所有的置换矩阵的个数，即为各行的全排列数，即n的阶乘（ n! ）
另外由其定义我们还可以得知置换矩阵的一个 特性
■ 转置矩阵
直观来看，将矩阵 A 的所有元素绕着一条从第 1 行第 1 列元素出发的右下方45度的射线作镜面反转，即得到 A 的转置。即
■ 对称矩阵
特别的我们发现一些矩阵转置之后还是原矩阵，这样的矩阵称为对称矩阵（Symmetric matrix , S）, 即
同时我们发现可以通过任意矩阵，其自身与其转置的乘积得到对称阵，即
5.2 向量空间、子空间
■ 向量空间的定义：
所有 n 维向量构成的空间即为向量空间
■ 子空间的定义：
子空间是向量空间
中满足如下条件的部分空间：
对于
的子空间
，任意
, 它们的所有线性组合也在
中。简单来说就是子空间对其内的向量是对乘法和加法封闭的。
举例来说
的所有子空间：
自身
- 零向量
- 所有通过零向量
的直线
的所有子空间：
自身
- 零向量
- 所有通过零向量
的直线
- 所有通过零向量
的平面
5.3 习题课：三维空间子空间
2011年秋季习题
问题一
- 求
构成的最小子空间
- 求
构成的最小子空间
- 求
问题二
由
构成，
是否成立？
- 给出一个
的子空间 S ，满足
问题三
是什么？
解答
- 由子空间的定义我们知道子空间需要对乘法和加法封闭，这两个向量都过原点, 因此他们各自的最小 子空间 就是他们各自所在的直线， 两条直线只有一个交点--原点
- 当然不成立，我们知道两个非共线向量可以构成一个平面，而两条直线的并集还是两条直线，同时我们可以知道
,为了满足
， 实际上只需要取任意过原点的直线（
向量的任意线性组合，但是不与
所在的这两条直线重合即可，即只要不取（0,1）或者（1,0）即可）
- 就是
所在的直线, 也即
. 因为
恰好就在xy平面上。
由该习题我们也可以得出结论
- 子空间的并集 不再是子空间
- 子空间的交集，依然是一个子空间