R语言数据分析与挖掘(第六章):主成分分析(1)——主成分分析概论
R语言数据分析与挖掘(第六章):主成分分析(1)——主成分分析概论
1.主成分分析
在许多领域的研究与应用中，往往需要对反映事物的多个变量进行大量的观测，收集大量数据以便进行分析寻找规律。多变量大样本无疑会为研究和应用提供了丰富的信息，但也在一定程度上增加了数据采集的工作量，更重要的是在多数情况下，许多变量之间可能存在相关性，从而增加了问题分析的复杂性，同时对分析带来不便。如果分别对每个指标进行分析，分析往往是孤立的，而不是综合的。盲目减少指标会损失很多信息，容易产生错误的结论。
因此需要找到一个合理的方法，在减少需要分析的指标同时，尽量减少原指标包含信息的损失，以达到对所收集数据进行全面分析的目的。由于各变量间存在一定的相关关系，因此有可能用较少的综合指标分别综合存在于各变量中的各类信息。主成分分析与因子分析就属于这类降维的方法。
主成分分析是设法将原来众多具有一定相关性（比如P个指标），重新组合成一组新的互相无关的综合指标来代替原来的指标。
主成分分析，是考察多个变量间相关性一种多元统计方法，研究如何通过少数几个主成分来揭示多个变量间的内部结构，即从原始变量中导出少数几个主成分，使它们尽可能多地保留原始变量的信息，且彼此间互不相关.通常数学上的处理就是将原来P个指标作线性组合，作为新的综合指标。
最经典的做法就是用F1（选取的第一个线性组合，即第一个综合指标）的方差来表达，即Var(F1)越大，表示F1包含的信息越多。因此在所有的线性组合中选取的F1应该是方差最大的，故称F1为第一主成分。如果第一主成分不足以代表原来P个指标的信息，再考虑选取F2即选第二个线性组合，为了有效地反映原来信息，F1已有的信息就不需要再出现在F2中，用数学语言表达就是要求Cov(F1, F2)=0，则称F2为第二主成分，依此类推可以构造出第三、第四，……，第P个主成分。
2. 问题描述
下表1是某些学生的语文、数学、物理、化学成绩统计：
首先，假设这些科目成绩不相关，也就是说某一科目考多少分与其他科目没有关系。那么一眼就能看出来，数学、物理、化学这三门课的成绩构成了这组数据的主成分（很显然，数学作为第一主成分，因为数学成绩拉的最开）。为什么一眼能看出来？因为坐标轴选对了！下面再看一组学生的数学、物理、化学、语文、历史、英语成绩统计，见表2，还能不能一眼看出来：
数据太多了，以至于看起来有些凌乱！也就是说，无法直接看出这组数据的主成分，因为在坐标系下这组数据分布的很散乱。究其原因，是因为无法拨开遮住肉眼的迷雾~如果把这些数据在相应的空间中表示出来，也许你就能换一个观察角度找出主成分。如下图1所示：
但是，对于更高维的数据，能想象其分布吗？就算能描述分布，如何精确地找到这些主成分的轴？如何衡量你提取的主成分到底占了整个数据的多少信息？所以，我们就要用到主成分分析的处理方法。
3. 数据降维
为了说明什么是数据的主成分，先从数据降维说起。数据降维是怎么回事儿？假设三维空间中有一系列点，这些点分布在一个过原点的斜面上，如果你用自然坐标系x,y,z这三个轴来表示这组数据的话，需要使用三个维度，而事实上，这些点的分布仅仅是在一个二维的平面上，那么，问题出在哪里？
如果你再仔细想想，能不能把x,y,z坐标系旋转一下，使数据所在平面与x,y平面重合？这就对了！如果把旋转后的坐标系记为x’,y’,z’，那么这组数据的表示只用x’和y’两个维度表示即可！当然了，如果想恢复原来的表示方式，那就得把这两个坐标之间的变换矩阵存下来。这样就能把数据维度降下来了！
但是，我们要看到这个过程的本质，如果把这些数据按行或者按列排成一个矩阵，那么这个矩阵的秩就是2！这些数据之间是有相关性的，这些数据构成的过原点的向量的最大线性无关组包含2个向量，这就是为什么一开始就假设平面过原点的原因！
那么如果平面不过原点呢？这就是数据中心化的缘故！将坐标原点平移到数据中心，这样原本不相关的数据在这个新坐标系中就有相关性了！有趣的是，三点一定共面，也就是说三维空间中任意三点中心化后都是线性相关的，一般来讲n维空间中的n个点一定能在一个n-1维子空间中分析！
上一段文字中，认为把数据降维后并没有丢弃任何东西，因为这些数据在平面以外的第三个维度的分量都为0。现在，假设这些数据在z’轴有一个很小的抖动，那么我们仍然用上述的二维表示这些数据，理由是我们可以认为这两个轴的信息是数据的主成分，而这些信息对于我们的分析已经足够了，z’轴上的抖动很有可能是噪声，也就是说本来这组数据是有相关性的，噪声的引入，导致了数据不完全相关，但是，这些数据在z’轴上的分布与原点构成的夹角非常小，也就是说在z’轴上有很大的相关性，综合这些考虑，就可以认为数据在x’,y’ 轴上的投影构成了数据的主成分！
课堂上老师谈到的特征选择的问题，其实就是要剔除的特征主要是和类标签无关的特征。而这里的特征很多是和类标签有关的，但里面存在噪声或者冗余。在这种情况下，需要一种特征降维的方法来减少特征数，减少噪音和冗余，减少过度拟合的可能性。
PCA的思想是将n维特征映射到k维上（k<n），这k维是全新的正交特征。这k维特征称为主成分，是重新构造出来的k维特征，而不是简单地从n维特征中去除其余n-k维特征。
下一讲我们将通过实例来讲解。
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