Sinusoidal 位置编码追根溯源
这篇文章主要是介绍自己对 Google 在《Attention is All You Need》中提出来的 Sinusoidal 位置编码
\begin{equation}\left\{\begin{aligned}&\boldsymbol{p}_{k,2i}=\sin\Big(k/10000^{2i/d}\Big)\\ &\boldsymbol{p}_{k, 2i+1}=\cos\Big(k/10000^{2i/d}\Big) \end{aligned}\right. \tag{1}\end{equation}
的新理解，其中 \boldsymbol {p}_{k,2i},\boldsymbol {p}_{k,2i+1} 分别是位置 kk 的编码向量的第 2i,2i+1 个分量，d 是向量维度
作为位置编码的一个显式解，Google 在原论文中对它的描述却寥寥无几，只是简单提及了它可以表达相对位置信息，后来知乎等平台上也出现了一些解读，它的一些特点也逐步为大家所知，但总体而言比较零散。特别是对于 “它是怎么想出来的”、“非得要这个形式不可吗” 等原理性问题，还没有比较好的答案。因此，本文主要围绕这些问题展开思考
泰勒展开
假设我们的模型为 f (\cdots,\boldsymbol {x}_m,\cdots,\boldsymbol {x}_n,\cdots)，其中标记出来的 {x}_m, {x}_n 分别表示第 m,n 个输入。像 Transformer 这样的纯 Attention 模型，它是全对称的，即对于任意的 m,n，都有
\begin{equation}f(\cdots,\boldsymbol{x}_m,\cdots,\boldsymbol{x}_n,\cdots)=f(\cdots,\boldsymbol{x}_n,\cdots,\boldsymbol{x}_m,\cdots)\tag{2}\end{equation}
这就是我们说 Transformer 无法识别位置的原因 —— 全对称性，简单来说就是函数天然满足恒等式f (x,y)=f (y,x)，以至于我们无法从结果上区分输入到底是 [x,y][x,y] 还是 [y,x][y,x]
换句话说，"xx 你好 xx" 和 "xx 好你 xx" 大概率具有一样的输出，这在 NLP 里面显然是不合理的
因此，我们要做的事情，就是打破这种对称性，比如在每个位置都加上一个不同的编码向量：
\begin{equation}\tilde{f}(\cdots,\boldsymbol{x}_m,\cdots,\boldsymbol{x}_n,\cdots)=f(\cdots,\boldsymbol{x}_m + \boldsymbol{p}_m,\cdots,\boldsymbol{x}_n + \boldsymbol{p}_n,\cdots)\tag{3}\end{equation}
一般来说，只要每个位置的编码向量不同，那么这种全对称性就被打破了，即可以用 f~\tilde {f} 代替 ff 来处理有序的输入。但现在我们希望能进一步分析位置编码的性质，甚至得到一个显式解
为了简化问题，我们先只考虑 m,nm,n 这两个位置上的位置编码，将它视为扰动项，泰勒展开到二阶：
\begin{equation}\tilde{f}\approx f + \boldsymbol{p}_m^{\top} \frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{x}_m} + \boldsymbol{p}_n^{\top} \frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{x}_n} + \frac{1}{2}\boldsymbol{p}_m^{\top} \frac{\partial^2 f}{\partial \boldsymbol{x}_m^2}\boldsymbol{p}_m + \frac{1}{2}\boldsymbol{p}_n^{\top} \frac{\partial^2 f}{\partial \boldsymbol{x}_n^2}\boldsymbol{p}_n + \underbrace{\boldsymbol{p}_m^{\top} \frac{\partial^2 f}{\partial \boldsymbol{x}_m \partial \boldsymbol{x}_n}\boldsymbol{p}_n}_{\boldsymbol{p}_m^{\top} \boldsymbol{\mathcal{H}} \boldsymbol{p}_n}\tag{4}\end{equation}
可以看到，第 1 项与位置无关，第 2 项到第 5 项都只依赖于单一位置，它们都是存粹的绝对位置信息，第 6 项是第一个同时包含 \boldsymbol {p}_m,\boldsymbol {p}_n 的交互项，我们将它记为 \boldsymbol {p}_m^{\top} \boldsymbol {\mathcal {H}} \boldsymbol {p}_n
补充一下二元函数泰勒展开知识： f(x+h,y+k)=f(x, y)+h\frac{\partial f}{\partial x}+k\frac{\partial f}{\partial y}+\frac{1}{2!}(h\frac{\partial f}{\partial x}+k\frac{\partial f}{\partial y})^2+\cdots
相对位置
我们先从简单的例子入手，假设 \boldsymbol {\mathcal {H}}=\boldsymbol {I} 是单位阵，此时 \boldsymbol {p}_m^{\top} \boldsymbol {\mathcal {H}} \boldsymbol {p}_n = \boldsymbol {p}_m^{\top} \boldsymbol {p}_n = \langle\boldsymbol {p}_m, \boldsymbol {p}_n\rangle 是两个位置编码的内积，我们希望在这个简单的例子中该项表达的是相对位置信息，即存在某个函数 g 使得
\begin{equation}\langle\boldsymbol{p}_m, \boldsymbol{p}_n\rangle = g(m-n)\tag{5}\end{equation}
这里的 \boldsymbol {p}_m,\boldsymbol {p}_n 是 d维向量，这里我们从最简单的 d=2 入手
对于 2 维向量，我们借助复数来推导，即将向量 [x,y] 视为复数 x+y\text {i}，根据复数乘法的运算法则，我们不难得到：
\begin{equation}\langle\boldsymbol{p}_m, \boldsymbol{p}_n\rangle = \text{Re}[\boldsymbol{p}_m \boldsymbol{p}_n^*]\tag{6}\end{equation}
其中\boldsymbol {p}_n^* 是 \boldsymbol {p}_n 的共轭复数，\text {Re}[] 代表复数的实部。
举个栗子：[3,5] 对应的复数为 3+5\text {i}，[1,6] 对应的复数为 1+6\text {i}，其共轭复数为 [3,5]?[1,6]?=33[3,5]\cdot [1,6]^{\top}=33，而(3+5\text {i})(1-6\text {i})=33-13\text {i}，且 \text {Re}[33-13\text {i}]=33
为了满足式 (5)，我们可以假设存在复数 \boldsymbol {q}_{m-n} 使得
\begin{equation}\boldsymbol{p}_m \boldsymbol{p}_n^* = \boldsymbol{q}_{m-n}\tag{7}\end{equation}
这样两边取实部就得到了式 (5)。为了求解这个方程，我们可以使用复数的指数形式，即设 \boldsymbol {p}_m=r_m e^{\text {i}\phi_m}, \boldsymbol {p}_n^*=r_n e^{-\text {i}\phi_n}, \boldsymbol {q}_{m-n}=R_{m-n} e^{\text {i}\Phi_{m-n}} 得到
\begin{equation}r_m r_n e^{\text{i}(\phi_m - \phi_n)} = R_{m-n} e^{\text{i}\Phi_{m-n}}\quad\\\Rightarrow\quad \left\{\begin{aligned}&r_m r_n = R_{m-n}\\ & \phi_m - \phi_n=\Phi_{m-n}\end{aligned}\right.\tag{8}\end{equation}
这里补充一下复数的指数形式： 根据定义有复数的三角形式 r (\cos\theta+\text {i}\sin\theta)，又由于欧拉公式 \cos\theta +\text{i}\sin\theta=e^{\text{i}\theta} 上式两端同乘以 r (r>0)，得 r(\cos\theta+\text{i}\sin\theta)=re^{\text{i}\theta} 这说明复数可以用指数形式 re^{i\theta} 来表示。实际上，复数的代数形式、三角形式和指数形式之间有下面的关系 a+b\text{i}=r(\cos\theta+\text{i}\sin\theta)=re^{\text{i}\theta}
对于第一个方程，带入 n=m 得r_m^2=R_0，即r_m 是一个常数，简单起见这里设为 1
对于第二个方程，带入0n=0 得 \phi_m-\phi_0=\Phi_m，简单起见设 \phi_0=0，那么\phi_m=\Phi_m
对于第二个方程，带入 n=m-1（在 NLP 中，这个式子的含义相当于两个词的位置是相邻的）得 \phi_m-\phi_{m-1}=\Phi_1=\phi_1，那么 {\phi_m} 只是一个等差数列，通解为 m\theta，因此我们就得到二维情形下的位置编码的解为：
\begin{equation}\boldsymbol{p}_m = e^{\text{i}m\theta}\quad\Leftrightarrow\quad \boldsymbol{p}_m=\begin{pmatrix}\cos m\theta \\ \sin m\theta\end{pmatrix}\tag{9}\end{equation}
由于内积满足线性叠加性，所以更高维的偶数维位置编码，我们可以表示为多个二维位置编码的组合：
\begin{equation}\boldsymbol{p}_m = \begin{pmatrix}e^{\text{i}m\theta_0} \\ e^{\text{i}m\theta_1} \\ \vdots \\ e^{\text{i}m\theta_{d/2-1}}\end{pmatrix}\quad\Leftrightarrow\quad \boldsymbol{p}_m=\begin{pmatrix}\cos m\theta_0 \\ \sin m\theta_0 \\ \cos m\theta_1 \\ \sin m\theta_1 \\ \vdots \\ \cos m\theta_{d/2-1} \\ \sin m\theta_{d/2-1} \end{pmatrix}\tag{10}\end{equation}
它同样满足式 (5)。当然，这只能说是式 (5) 的一个解，但不是唯一解，对于我们来说，求出这一个简单的解就行了
远程衰减
基于前面的假设，我们推导出了位置编码的形式 (10)，它跟标准的 Sinusoidal 位置编码 (1) 形式基本一样了，只是 \sin,\cos 的位置有点不同。一般情况下，神经网络的神经元都是无序的，所以哪怕打乱各个维度，也是一种合理的位置编码，因此除了各个 \theta_i 没确定下来外，式 (10) 和式 (1) 并无本质区别
式 (1) 的选择是\theta_i=10000^{-2i/d}，这个选择有什么意义呢？事实上，这个形式有一个良好的性质：它使得随着 |m?n| 的增大，\langle\boldsymbol {p}_m, \boldsymbol {p}_n\rangle 有着趋近于零的趋势。按照我们的直观想象，输入句子中相对距离越大的两个单词，其相关性应该越弱，因此这个性质是符合我们的直觉的。只是，明明是周期性的三角函数，为什么会呈现出衰减的趋势呢？
这的确是个神奇的现象，源于高频振荡积分的渐近趋零性。具体来说，我们将内积写为
\begin{equation}\begin{aligned} \langle\boldsymbol{p}_m, \boldsymbol{p}_n\rangle =&\, \text{Re}\left[e^{\text{i}(m-n)\theta_0} + e^{\text{i}(m-n)\theta_1} + \cdots + e^{\text{i}(m-n)\theta_{d/2-1}}\right]\\ =&\, \text{Re}\left[\sum_{i=0}^{d/2-1}e^{\text{i}(m-n)\theta_i}\right]\\ =&\,\text{Re}\left[\frac{d}{2}\cdot\frac{1}{d/2}\cdot\sum_{i=0}^{d/2-1} e^{\text{i}(m-n)10000^{-i/(d/2)}}\right]\\ \sim&\, \frac{d}{2}\cdot\text{Re}\left[\int_0^1 e^{\text{i}(m-n)\cdot 10000^{-t}}dt\right] \end{aligned}\tag{11}\end{equation}
对于式 (11)，将 d/2 看成一个整体 n，于是就变为： \text{Re}\left[n\cdot\frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1}e^{\text{i}(m-n)10000^{-\frac{i}{n}}}\right] 根据定积分的定义，即 \lim \limits_{n\to \infty} \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f(\frac{i}{n})=\int_0^1 f(x)dx 于是即可推导出式 (11)
这样问题就变成了积分 \int_{0}^1 e^{\text {i}(m-n)\theta_t} dt 的渐进估计问题了。对我们来说，最直接的方法就是通过 Mathematica 把积分结果的图像画出来
\[Theta][t_] = (1/10000)^t;
f[x_] = Re[Integrate[Exp[I*x*\[Theta][t]], {t, 0, 1}]];
Plot[f[x], {x, -128, 128}]从图像中我们可以看出确实具有衰减趋势
那么问题来了，必须是\theta_t=10000^{-t} 才能呈现出远程衰减趋势吗？当然不是。事实上，对于我们这里的场景，"几乎" 每个值域在 [0,1] 上的单调光滑函数 \theta_t，都能使得积分 \int_0^1e^{\text {i}(m-n)\theta_t} dt 具有渐近衰减趋势，比如幂函数 \theta_t=t^{\alpha}。那么 \theta_t=10000^{-t} 有什么特别的吗？我们来比较一些结果（下面两张图分别是短距离和长距离时的趋势）
这样看上去，除了 \theta_t=t 比较异常之外（与横轴有交点），其他都没有什么明显的区分度，很难断定孰优孰劣，无非就是幂函数在短距离降的快一点，而指数函数则在长距离降的快一点。如此来看 \theta_t=10000^{-t} 也只是一个折中的选择，没有什么特殊性，要是笔者来选，多半会选 \theta_t=1000^{-t}。还有一个方案是，直接让\theta_i=10000^{-2i/d} 作为各个 \theta_i 的初始化值，然后将它设为可训练的，由模型自动微调，这样也不用纠结选哪个了
一般情况
前面两节中，我们展示了通过绝对位置编码来表达相对位置信息的思想，加上远程衰减的约束，可以 "反推" 出 Sinusoidal 位置编码，并且给出了关于 θi\theta_i 的其他选择。但是别忘了，到目前为止，我们的推导都是基于 \boldsymbol {\mathcal {H}}=\boldsymbol {I} 这个简单情况的，对于一般的 \boldsymbol {\mathcal {H}}，使用上述 Sinusoidal 位置编码，还能具备以上的良好性质吗？
如果 \boldsymbol {\mathcal {H}} 是一个对角阵，那么上面的各个性质可以得到一定的保留，此时
\begin{equation}\boldsymbol{p}_m^{\top} \boldsymbol{\mathcal{H}} \boldsymbol{p}_n=\sum_{i=1}^{d/2} \boldsymbol{\mathcal{H}}_{2i,2i} \cos m\theta_i \cos n\theta_i + \boldsymbol{\mathcal{H}}_{2i+1,2i+1} \sin m\theta_i \sin n\theta_i\tag{12}\end{equation}
由积化和差公式得到
\begin{equation}\sum_{i=1}^{d/2} \frac{1}{2}\left(\boldsymbol{\mathcal{H}}_{2i,2i} + \boldsymbol{\mathcal{H}}_{2i+1,2i+1}\right) \cos (m-n)\theta_i + \frac{1}{2}\left(\boldsymbol{\mathcal{H}}_{2i,2i} - \boldsymbol{\mathcal{H}}_{2i+1,2i+1}\right) \cos (m+n)\theta_i\tag{13} \end{equation}
可以看到它也是确实包含了相对位置 m-n，只不过可能会多出 m+n 这一项，如果不需要它，模型可以让 \boldsymbol {\mathcal {H}}_{2i,2i} = \boldsymbol {\mathcal {H}}_{2i+1,2i+1} 来消除它。在这个特例下，我们指出的是 Sinusoidal 位置编码赋予了模型学习相对位置的可能，至于具体需要什么位置信息，则由模型的训练自行决定
特别地，对于上式，远程衰减特性依然存在，比如第一项求和，类比前一节的近似，它相当于积分
\begin{equation}\sum_{i=1}^{d/2} \frac{1}{2}\left(\boldsymbol{\mathcal{H}}_{2i,2i} + \boldsymbol{\mathcal{H}}_{2i+1,2i+1}\right) \cos (m-n)\theta_i \sim \int_0^1 h_t e^{\text{i}(m-n)\theta_t}dt\tag{14}\end{equation}
其实式 (14) 没有严格的推导，\sim 的意思是 "类比"，"相当于"，就是说我们要分析 \sum_i a_ib_i 的性态，大致上相当于分析 \int a (x) b (x) dx 的性态。读者不要一味的钻牛角尖想办法证明两者相等
同样地，振荡积分的一些估计结果（参考《Oscillatory integrals》、《学习笔记 3 - 一维振荡积分与应用》等）告诉我们，该振荡积分在比较容易达到的条件下，有 |m-n|\to\infty 时积分值趋于零，因此远程衰减特性是可以得到保留的
如果 \boldsymbol {\mathcal {H}} 不是对角阵，那么很遗憾，上述性质很难重现。我们只能寄望于 \boldsymbol {\mathcal {H}} 的对角线部分占了主项，这样一来上述性质还能近似保留。对角线部分占主项，意味着 dd 维向量之间任意两个维度的相关性比较小，满足一定的解耦性。对于 Embedding 层来说，这个假设还是有一定的合理性的，笔者检验了 BERT 训练出来的词 Embedding 矩阵和位置 Embedding 矩阵的协方差矩阵，发现对角线元素明显比非对角线元素大，证明了对角线元素占主项这个假设有一定的合理性
问题讨论
有读者会反驳："就算你把 Sinusoidal 位置编码说的无与伦比，也改变不了直接训练的位置编码比 Sinusoidal 位置编码效果要好的事实"，的确，有实验表明，在像 BERT 这样经过充分预训练的 Transformer 模型中，直接训练的位置编码效果是要比 Sinusoidal 位置编码好些，这个并不否认。本文要做的事情，只是从原理和假设出发，推导 Sinusoidal 位置编码为什么可以作为一个有效的手段，但并不代表它就一定是最好的位置编码方式
推导是基于一些假设的，如果推导出来的结果不够好，那么就意味着假设与实际情况不够符合。那么，对于 Sinusoidal 位置编码来说，问题可能出现在哪呢？我们可以逐步来反思下
第一步，泰勒展开，这个依赖于 \boldsymbol {p} 的值比较小，笔者也在 BERT 中做了检验，发现词 Embedding 的平均模长要比位置 Embedding 的平均模长大，这说明 \boldsymbol {p} 的值比较小在某种程度上是合理的，但是多合理也说不准，因为 Embedding 模长虽然更大但也并不是压倒性的
第二步，假设 \boldsymbol {\mathcal {H}} 是单位阵，因为上一节我们分析了它很可能是对角线占主项的，所以先假设单位阵也没什么太大的问题
第三步，假设通过两个绝对位置向量的内积来表达相对位置信息，这个直觉上来说是合理的，绝对位置的交互应当有能力表达一定程度的相对位置信息
最后一步，通过自动远程衰减的特性来确定 \theta_i，这个本身应该也是好的，但就是这一步变数太大，因为可选的 \theta_i 形式太多，甚至还有可训练的 \theta_i，很难挑出最合理的，因此如果说 Sinusoidal 位置编码不够好，这一步是最值得反思的