【算法学习】求得一定数值范围内的所有质数
算法学习有些时候是枯燥的，这一次，让我们先人一步，趣学算法！欢迎记录下你的那些努力时刻（算法学习知识点/算法题解/遇到的算法bug/等等），在分享的同时加深对于算法的理解，同时吸收他人的奇思妙想，一起见证技术er的成长~
0. 引子
在面试过程当中，经常会遇到一些算法相关的问题，比如：求100以内的所有质数。
今天我们由这个问题入手，探讨一下算法的用处。
1、概念
质数（prime number）又称素数，有无限个。质数定义为在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数。
2、算法设计
假设要判断的数值为n，只需对除数进行遍历，从2到n-1即可。
import java.util.ArrayList;
import java.util.List;
public class TestPrime {
public static void main(String[] args) {
//存储质数
List<Integer> primeList = new ArrayList<>();
int n = 100;
//循环次数
int count = 0;
for(int i=2;i<=n;i++){
//质数标识
boolean isPrime = true;
for(int j=2;j<=i-1;j++){
count++;
if(i%j==0){
isPrime = false;
}
}
if(isPrime){
primeList.add(i);
}
}
//打印质数
System.out.println(primeList.toString());
//打印循环次数
System.out.println(count);
}
}输出结果为：
[2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97] 4851
总共循环了4851次。
?考虑如下三个问题： 算法是否正确？ 算法复杂度如何？ 算法能否改进？
2.1 算法是否正确？
从打印出来结果来看，全是质数，算法结果没有问题。
2.2?算法复杂度如何？
for(int i=2;i<=n;i++){? ?============》时间复杂度为 n ?? ??? ??? ?//质数标识 ?? ??? ??? ?boolean isPrime = true; ?? ??? ??? ?for(int j=2;j<=i-1;j++){? ? ? ??============》时间复杂度为 n/2 ?? ??? ??? ??? ?count++; ?? ??? ??? ??? ?if(i%j==0){ ?? ??? ??? ??? ??? ?isPrime = false; ?? ???? ? ? } ?}
整体复杂度为n^2/2?
2.3 算法能否改进？
能，在判断非质数条件成立时，可以使用 break 语句终止当前循环。
3、算法优化一
当前数值为非质数时，即结束当前层的for循环，提高执行效率。
import java.util.ArrayList;
import java.util.List;
public class TestPrime {
public static void main(String[] args) {
//存储质数
List<Integer> primeList = new ArrayList<>();
int n = 100;
//循环次数
int count = 0;
for(int i=2;i<=n;i++){
//质数标识
boolean isPrime = true;
for(int j=2;j<=i-1;j++){
count++;
if(i%j==0){
isPrime = false;
break;
}
}
if(isPrime){
primeList.add(i);
}
}
//打印质数
System.out.println(primeList.toString());
//打印循环次数
System.out.println(count);
}
}输出结果如下：?
[2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97] 1133
总共循环了1133次，是上一次结果的四分之一，虽然效率有所提升，但效果并不明显，没有实现量级跃升。
还能再继续优化吗？
4、算法优化二
之前的计算中，除数是循环到了n-1，其实并没有必要，因为当除数达到n/2时，就已经到了整除n的极限了，当除数超过 n/2 + 1时，无论如何也不能将n整除了。
优化后如下：
import java.util.ArrayList;
import java.util.List;
public class TestPrime {
public static void main(String[] args) {
//存储质数
List<Integer> primeList = new ArrayList<>();
int n = 100;
//循环次数
int count = 0;
for(int i=2;i<=n;i++){
//质数标识
boolean isPrime = true;
for(int j=2;j<=i/2;j++){
count++;
if(i%j==0){
isPrime = false;
break;
}
}
if(isPrime){
primeList.add(i);
}
}
//打印质数
System.out.println(primeList.toString());
//打印循环次数
System.out.println(count);
}
}运行结果如下：
[2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97] 616
总共循环了616次，这次可以发现，执行次数较之前大幅提升了一个数量级。
还能再优化吗？
5、算法优化三
沿着4中的思路，继续分析，当除数达到n/2时，其实已经在除数为2时得到了验证，故这里已经出现了重复。
该问题的计算思路，可以转换为：计算数值n下的所有约数中，除了1和自身外，是否还存在其它数值，如果没有，就是质数。当 x^2 = n 即为约数集中最中间的数值，其它约数都分布在x的两边。
算法优化如下：
import java.util.ArrayList;
import java.util.List;
public class TestPrime {
public static void main(String[] args) {
//存储质数
List<Integer> primeList = new ArrayList<>();
int n = 100;
//循环次数
int count = 0;
for(int i=2;i<=n;i++){
//质数标识
boolean isPrime = true;
for(int j=2;j<=Math.sqrt(i+1);j++){
count++;
if(i%j==0){
isPrime = false;
break;
}
}
if(isPrime){
primeList.add(i);
}
}
//打印质数
System.out.println(primeList.toString());
//打印循环次数
System.out.println(count);
}
}输出如下：
[2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97] 237
总共循环了237次。
大家再看看，对于该算法，还有什么可以优化的空间么？