数据结构——lesson6二叉树基础
?1.树概念及结构
?1.1树的概念
树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。 把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。
类似于倒立的树：
?有一个特殊的结点，称为根结点，如上图中的A，根节点没有前驱结点。（根节点在下面介绍） ?除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i<= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继 ?因此，树是递归定义的。
?1.2与树有关的概念
如图是树形结构：
- 节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如上图：A的为6；
- 叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点； 如上图：B、C、H、I…等节点为叶节点；
- 非终端节点或分支节点：度不为0的节点； 如上图：D、E、F、G…等节点为分支节点；
- 双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A是B的父节点
- 孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：B是A的孩子节点；
- 兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图：B、C是兄弟节点；
- 树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为6；
- 节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
- 树的高度或深度：树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为4；
- 堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点；
- 节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先；
- 子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙；
- 森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林；
以上节点的层次不同于数组下标从0开始，它是从1开始便于后续使用，不然不好区分一层节点和没有节点的情况，当然也可以从0开始，数组下标从0开始则是因为*（arr+i）便于计算。
注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构
树可以理解为包括两个：一是父节点（前驱节点），另一个是子树。 而子树同样又可以分为父节点和子树 直到找到叶子节点
?1.3 树的表示
树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，既然保存值域，也要保存结点和结点之间的关系，实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等。 我们这里简单介绍一些方法： （1）直接表示
这里我们需要知道树的度，然后直接定义
struct TreeNode
{
int data;//保存数据
struct TreeNode* child1;//保存孩子节点的指针
struct TreeNode* child2;
//...
}如果树的度是7，我们则需要定义7个树的指针
（2）双亲表示法
存放双亲也就是父节点的指针或下标即可
struct TreeNode
{
int data;
struct TreeNode* parent;//或者存放下标int parenti;
}(3)最常用的孩子兄弟表示法
typedef int DataType;
struct Node
{
struct Node* _firstChild1; // 第一个孩子结点
struct Node* _pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点
DataType _data; // 结点中的数据域
};
?1.4 树在实际中的运用（表示文件系统的目录树结构）
?2.二叉树概念及结构
?2.1概念
一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合:
- 或者为空
- 由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成
? 二叉树不存在度大于2的结点 ? 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树
注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：
二叉树就是树分支要小于等于2即可
?2.2现实中的二叉树
?2.3 特殊的二叉树
1. 满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是2^k - 1 ，则它就是满二叉树。 2. 完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。
满二叉树每个节点都分两个支，直到叶子节点出现； 完全二叉树最后一层要有连续分支，且分支也小于等于2，其他层是满二叉树
2.4 二叉树的性质
1.每个节点最多有两个子节点，分别称为左子节点和右子节点。
2.二叉树的左子树和右子树也是二叉树。
3.则一棵非空二叉树的第i层上最多有 2^(i-1)个结点.
4.若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是2^h -1 .
5.若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h=log2(n+1)(ps：log是以2为底，n+1为对数)
6.对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：
- 若i>0，i位置节点的双亲序号：(i-1)/2；
- i=0，i为根节点编号，无双亲节点
可以按照等比数列来理解，等比数列的公比为2，首项为1
?3.结语
以上就是学习二叉树的基础知识啦，重点部分已经加粗或颜色标注了大概知道二叉树有关的概念，以及理解二叉树的原理与概念即可，后续将会持续学习二叉树有关的编程知识…完结撒花~????