DP入门之不同路径 II
63. 不同路径 II
力扣题目链接：https://leetcode-cn.com/problems/unique-paths-ii
一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为“Start” ）。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为“Finish”）。
现在考虑网格中有障碍物。那么从左上角到右下角将会有多少条不同的路径？
网格中的障碍物和空位置分别用 1 和 0 来表示。
示例 1：
- 输入：obstacleGrid = [[0,0,0],[0,1,0],[0,0,0]]
- 输出：2 解释：
- 3x3 网格的正中间有一个障碍物。
- 从左上角到右下角一共有 2 条不同的路径：
- 向右 -> 向右 -> 向下 -> 向下
- 向下 -> 向下 -> 向右 -> 向右
示例 2：
- 输入：obstacleGrid = [[0,1],[0,0]]
- 输出：1
提示：
- m == obstacleGrid.length
- n == obstacleGrid[i].length
- 1 <= m, n <= 100
- obstacleGrid[i][j] 为 0 或 1
思路
这道题相对于62.不同路径 就是有了障碍。
第一次接触这种题目的同学可能会有点懵，这有障碍了，应该怎么算呢？
62.不同路径中我们已经详细分析了没有障碍的情况，有障碍的话，其实就是标记对应的dp table（dp数组）保持初始值(0)就可以了。
动规五部曲：
- 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i][j] ：表示从（0 ，0）出发，到(i, j) 有dp[i][j]条不同的路径。
- 确定递推公式
递推公式和62.不同路径一样，dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]。
但这里需要注意一点，因为有了障碍，(i, j)如果就是障碍的话应该就保持初始状态（初始状态为0）。
所以代码为：
if (obstacleGrid[i][j] == 0) { // 当(i, j)没有障碍的时候，再推导dp[i][j]
dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
}
- dp数组如何初始化
在62.不同路径不同路径中我们给出如下的初始化：
vector<vector<int>> dp(m, vector<int>(n, 0)); // 初始值为0
for (int i = 0; i < m; i++) dp[i][0] = 1;
for (int j = 0; j < n; j++) dp[0][j] = 1;
因为从(0, 0)的位置到(i, 0)的路径只有一条，所以dp[i][0]一定为1，dp[0][j]也同理。
但如果(i, 0) 这条边有了障碍之后，障碍之后（包括障碍）都是走不到的位置了，所以障碍之后的dp[i][0]应该还是初始值0。
如图：
63.不同路径II
下标(0, j)的初始化情况同理。
所以本题初始化代码为：
vector<vector<int>> dp(m, vector<int>(n, 0));
for (int i = 0; i < m && obstacleGrid[i][0] == 0; i++) dp[i][0] = 1;
for (int j = 0; j < n && obstacleGrid[0][j] == 0; j++) dp[0][j] = 1;
注意代码里for循环的终止条件，一旦遇到obstacleGrid[i][0] == 1的情况就停止dp[i][0]的赋值1的操作，dp[0][j]同理
- 确定遍历顺序
从递归公式dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1] 中可以看出，一定是从左到右一层一层遍历，这样保证推导dp[i][j]的时候，dp[i - 1][j] 和 dp[i][j - 1]一定是有数值。
代码如下：
for (int i = 1; i < m; i++) {
for (int j = 1; j < n; j++) {
if (obstacleGrid[i][j] == 1) continue;
dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
}
}
- 举例推导dp数组
拿示例1来举例如题：
63.不同路径II1
对应的dp table 如图：
63.不同路径II2
如果这个图看不同，建议在理解一下递归公式，然后照着文章中说的遍历顺序，自己推导一下！
动规五部分分析完毕，对应C++代码如下：
class Solution {
public:
int uniquePathsWithObstacles(vector<vector<int>>& obstacleGrid) {
int m = obstacleGrid.size();
int n = obstacleGrid[0].size();
vector<vector<int>> dp(m, vector<int>(n, 0));
for (int i = 0; i < m && obstacleGrid[i][0] == 0; i++) dp[i][0] = 1;
for (int j = 0; j < n && obstacleGrid[0][j] == 0; j++) dp[0][j] = 1;
for (int i = 1; i < m; i++) {
for (int j = 1; j < n; j++) {
if (obstacleGrid[i][j] == 1) continue;
dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
}
}
return dp[m - 1][n - 1];
}
};
- 时间复杂度：O(n × m) ，n、m 分别为obstacleGrid 长度和宽度
- 空间复杂度：O(n × m)
总结
本题是62.不同路径的障碍版，整体思路大体一致。
但就算是做过62.不同路径，在做本题也会有感觉遇到障碍无从下手。
其实只要考虑到，遇到障碍dp[i][j]保持0就可以了。
也有一些小细节，例如：初始化的部分，很容易忽略了障碍之后应该都是0的情况。
其他语言版本
Java
class Solution {
public int uniquePathsWithObstacles(int[][] obstacleGrid) {
int n = obstacleGrid.length, m = obstacleGrid[0].length;
int[][] dp = new int[n][m];
for (int i = 0; i < m; i++) {
if (obstacleGrid[0][i] == 1) break; //一旦遇到障碍，后续都到不了
dp[0][i] = 1;
}
for (int i = 0; i < n; i++) {
if (obstacleGrid[i][0] == 1) break; ////一旦遇到障碍，后续都到不了
dp[i][0] = 1;
}
for (int i = 1; i < n; i++) {
for (int j = 1; j < m; j++) {
if (obstacleGrid[i][j] == 1) continue;
dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
}
}
return dp[n - 1][m - 1];
}
}
Python
class Solution:
def uniquePathsWithObstacles(self, obstacleGrid: List[List[int]]) -> int:
# 构造一个DP table
row = len(obstacleGrid)
col = len(obstacleGrid[0])
dp = [[0 for _ in range(col)] for _ in range(row)]
dp[0][0] = 1 if obstacleGrid[0][0] != 1 else 0
if dp[0][0] == 0: return 0 # 如果第一个格子就是障碍，return 0
# 第一行
for i in range(1, col):
if obstacleGrid[0][i] != 1:
dp[0][i] = dp[0][i-1]
# 第一列
for i in range(1, row):
if obstacleGrid[i][0] != 1:
dp[i][0] = dp[i-1][0]
print(dp)
for i in range(1, row):
for j in range(1, col):
if obstacleGrid[i][j] != 1:
dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]
return dp[-1][-1]
class Solution:
"""
使用一维dp数组
"""
def uniquePathsWithObstacles(self, obstacleGrid: List[List[int]]) -> int:
m, n = len(obstacleGrid), len(obstacleGrid[0])
# 初始化dp数组
# 该数组缓存当前行
curr = [0] * n
for j in range(n):
if obstacleGrid[0][j] == 1:
break
curr[j] = 1
for i in range(1, m): # 从第二行开始
for j in range(n): # 从第一列开始，因为第一列可能有障碍物
# 有障碍物处无法通行，状态就设成0
if obstacleGrid[i][j] == 1:
curr[j] = 0
elif j > 0:
# 等价于
# dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]
curr[j] = curr[j] + curr[j - 1]
# 隐含的状态更新
# dp[i][0] = dp[i - 1][0]
return curr[n - 1]
Go
func uniquePathsWithObstacles(obstacleGrid [][]int) int {
m,n:= len(obstacleGrid),len(obstacleGrid[0])
// 定义一个dp数组
dp := make([][]int,m)
for i,_ := range dp {
dp[i] = make([]int,n)
}
// 初始化
for i:=0;i<m;i++ {
// 如果是障碍物, 后面的就都是0, 不用循环了
if obstacleGrid[i][0] == 1 {
break
}
dp[i][0]=1
}
for i:=0;i<n;i++ {
if obstacleGrid[0][i] == 1 {
break
}
dp[0][i]=1
}
// dp数组推导过程
for i:=1;i<m;i++ {
for j:=1;j<n;j++ {
// 如果obstacleGrid[i][j]这个点是障碍物, 那么我们的dp[i][j]保持为0
if obstacleGrid[i][j] != 1 {
// 否则我们需要计算当前点可以到达的路径数
dp[i][j] = dp[i-1][j]+dp[i][j-1]
}
}
}
// debug遍历dp
//for i,_ := range dp {
// for j,_ := range dp[i] {
// fmt.Printf("%.2v,",dp[i][j])
// }
// fmt.Println()
//}
return dp[m-1][n-1]
}
Javascript
var uniquePathsWithObstacles = function(obstacleGrid) {
const m = obstacleGrid.length
const n = obstacleGrid[0].length
const dp = Array(m).fill().map(item => Array(n).fill(0))
for (let i = 0; i < m && obstacleGrid[i][0] === 0; ++i) {
dp[i][0] = 1
}
for (let i = 0; i < n && obstacleGrid[0][i] === 0; ++i) {
dp[0][i] = 1
}
for (let i = 1; i < m; ++i) {
for (let j = 1; j < n; ++j) {
dp[i][j] = obstacleGrid[i][j] === 1 ? 0 : dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]
}
}
return dp[m - 1][n - 1]
};