计算机图形学中，三维空间下绕不同坐标轴的旋转矩阵如下（右手系逆时针）：
绕X轴旋转：
R
x
=
[
?
1
0
0
?
0
c
o
s
θ
?
sin
?
θ
?
0
s
i
n
θ
cos
?
θ
]
(1)
R_x = \left[ \begin{matrix} \ 1 & 0 & 0 \\ \ 0 &cos \theta & -\sin \theta \\ \ 0 &sin \theta& \cos \theta \end{matrix} \right] \tag{1}
Rx?=????1?0?0?0cosθsinθ?0?sinθcosθ????(1)
绕Y轴旋转： R y = [ cos ? θ 0 sin ? θ ? 0 1 0 ? sin ? θ 0 cos ? θ ] (2) R_y= \left[ \begin{matrix} \cos \theta & 0 & \sin \theta \\ \ 0 & 1 & 0 \\ -\sin \theta & 0 & \cos \theta \end{matrix} \right] \tag{2} Ry?=???cosθ?0?sinθ?010?sinθ0cosθ????(2)
绕Z轴旋转： R z = [ ? c o s θ ? sin ? θ 0 ? s i n θ cos ? θ 0 0 0 1 ] (3) R_z = \left[ \begin{matrix} \ cos \theta & -\sin \theta & 0 \\ \ sin \theta& \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \tag{3} Rz?=????cosθ?sinθ0??sinθcosθ0?001????(3)
可以看到，这三个旋转矩阵，只有在三维空间下物体围绕某一特定坐标轴旋转的特殊情况下才能使用。从几何角度来讲，三维空间中任意一个旋转（绕任意轴），都可以分解为绕X轴，Y轴，Z轴旋转的复合。即对于任意旋转轴
n
?
\vec{n}
n,旋转角
θ
\theta
θ：
R
(
n
?
,
θ
)
=
R
(
x
?
,
θ
x
)
?
R
(
y
?
,
θ
y
)
?
R
(
z
?
,
θ
z
)
?
.
(4)
R(\vec{n},\theta) = R(\vec{x},\theta x) * R(\vec{y},\theta y) * R(\vec{z},\theta z)\,.\tag{4}
R(n,θ)=R(x,θx)?R(y?,θy)?R(z,θz).(4)
然而，这样分解与矩阵运算的计算量显然是十分大的。
罗德里格斯旋转公式，用于表示空间中任一向量
v
?
\vec{v}
v，沿任一旋转轴
k
?
\vec{k}
k, 旋转任一角度
θ
\theta
θ后，得到的结果:
v
?
r
o
t
=
v
?
cos
?
θ
+
(
1
?
cos
?
θ
)
(
k
?
?
?
v
?
)
?
k
?
+
sin
?
θ
?
k
?
×
v
?
(5)
\vec{v}_{rot} = \vec{v} \cos\theta + (1-\cos\theta)(\vec{k} \cdot\ \vec{v})\cdot \vec{k} + \sin\theta *\vec{k} \times \vec{v} \tag{5}
vrot?=vcosθ+(1?cosθ)(k??v)?k+sinθ?k×v(5)
这个式子还不是很直观，所以需要引入另外两个公式来再推导两步化简：
???????
~~~~~~~
???????关于
a
?
×
b
?
\vec{a} \times \vec{b}
a×b ，有：
(
x
a
y
a
z
a
)
×
(
x
b
y
b
z
b
)
=
(
y
a
z
b
?
z
a
y
b
z
a
x
b
?
x
a
z
b
x
a
y
b
?
y
a
x
b
)
(6)
\begin{pmatrix} x_a \\y_a \\ z_a \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} x_b \\y_b \\ z_b \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} y_az_b - z_ay_b \\z_ax_b - x_az_b \\ x_ay_b -y_ax_b \end{pmatrix}\tag{6}
???xa?ya?za?????×???xb?yb?zb?????=???ya?zb??za?yb?za?xb??xa?zb?xa?yb??ya?xb?????(6)
???????
~~~~~~~
???????可以写成矩阵形式：
(
y
a
z
b
?
z
a
y
b
z
a
x
b
?
x
a
z
b
x
a
y
b
?
y
a
x
b
)
=
(
0
?
z
a
y
a
z
a
0
?
x
a
?
y
a
x
a
0
)
?
(
x
b
y
b
z
b
)
(7)
\begin{pmatrix} y_az_b - z_ay_b \\z_ax_b - x_az_b \\ x_ay_b -y_ax_b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0&-z_a & y_a \\z_a &0&-x_a \\ -y_a &x_a &0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_b \\y_b \\ z_b \end{pmatrix}\tag{7}
???ya?zb??za?yb?za?xb??xa?zb?xa?yb??ya?xb?????=???0za??ya???za?0xa??ya??xa?0????????xb?yb?zb?????(7)
???????
~~~~~~~
???????则可记
a
?
\vec{a}
a 的 " 叉积矩阵 " 为：
R
a
?
=
(
0
?
z
a
y
a
z
a
0
?
x
a
?
y
a
x
a
0
)
(8)
R_{\vec{a}} = \begin{pmatrix} 0&-z_a & y_a \\z_a &0&-x_a \\ -y_a &x_a &0 \end{pmatrix} \tag{8}
Ra?=???0za??ya???za?0xa??ya??xa?0????(8)
???????
~~~~~~~
???????对于任意向量
b
?
\vec{b}
b , 有 :
a
?
×
b
?
=
R
a
?
?
b
?
(9)
\vec{a} \times \vec{b} = R_{\vec{a}} \cdot \vec{b}\tag{9}
a×b=Ra??b(9)
???????
~~~~~~~
???????对于三个向量
a
?
?
b
?
?
c
?
\vec{a} ~\vec{b} ~\vec{c}
a?b?c ，向量的三重积定义为：
a
?
×
(
b
?
×
c
?
)
\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c})
a×(b×c)
???????
~~~~~~~
???????值得注意的是，一般来说 :
a
?
×
(
b
?
×
c
?
)
≠
(
a
?
×
b
?
)
×
c
?
\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) \neq(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}
a×(b×c)?=(a×b)×c
???????
~~~~~~~
???????以下恒等式，称作三重积展开或拉格朗日公式，对于任意向量
a
?
、
b
?
、
c
?
\vec{a}、\vec{b}、\vec{c}
a、b、c 均成立 ：
a ? × ( b ? × c ? ) = ( a ? ? c ? ) ? b ? ? ( a ? ? b ? ) ? c ? (10) \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c}) ~\vec{b} -(\vec{a} \cdot \vec{b}) ~\vec{c}\tag{10} a×(b×c)=(a?c)?b?(a?b)?c(10)
???????
~~~~~~~
???????如上图所示，描述了一个空间中的向量
v
?
\vec{v}
v，沿旋转轴
k
?
\vec{k}
k(单位向量), 逆时针旋转了
θ
\theta
θ角度到
v
?
r
o
t
\vec{v}_{rot}
vrot?的几何关系。
???????
~~~~~~~
???????在
v
?
与
k
?
\vec{v} 与 \vec{k}
v与k组成的平面上,
v
?
\vec{v}
v可以分解为:与
k
?
\vec{k}
k垂直的分量
v
⊥
?
\vec{v_{\perp}}
v⊥??和与
k
?
\vec{k}
k平行的分量
v
∥
?
\vec{v_{\parallel}}
v∥??,有：
v
?
=
v
∥
?
+
v
⊥
?
??
v
?
r
o
t
=
v
?
r
o
t
∥
+
v
?
r
o
t
⊥
(11)
\vec{v} = \vec{v_{\parallel}} + \vec{v_{\perp}} \tag{11} ~~ \vec{v}_{rot} = \vec{v}_{rot\parallel} + \vec{v}_{rot\perp}
v=v∥??+v⊥????vrot?=vrot∥?+vrot⊥?(11)
???????
~~~~~~~
???????其中,易得：
v
∥
?
=
(
v
?
?
k
?
)
?
k
?
(12)
\vec{v_{\parallel}} = (\vec{v} \cdot \vec{k}) * \vec{k}\tag{12}
v∥??=(v?k)?k(12)
???????
~~~~~~~
???????则，由（11）式：
v
⊥
?
=
v
?
?
v
∥
?
=
v
?
?
(
v
?
?
k
?
)
?
k
?
(13)
\vec{v_{\perp}} = \vec{v} - \vec{v_{\parallel}} = \vec{v} - (\vec{v} \cdot \vec{k}) * \vec{k}\tag{13}
v⊥??=v?v∥??=v?(v?k)?k(13)
???????
~~~~~~~
???????由 （10）式拉格朗日公式：
v
?
?
(
v
?
?
k
?
)
?
k
?
=
(
k
?
?
k
?
)
?
v
?
?
(
k
?
?
v
?
)
?
k
?
=
k
?
×
(
v
?
×
k
)
?
(14)
\vec{v} - (\vec{v} \cdot \vec{k}) * \vec{k} = (\vec{k} \cdot \vec{k}) *\vec{v} - (\vec{k} \cdot \vec{v}) * \vec{k} = \vec{k} \times(\vec{v}\times \vec{k)}\tag{14}
v?(v?k)?k=(k?k)?v?(k?v)?k=k×(v×k)?(14)
???????
~~~~~~~
???????则：
v
⊥
?
=
k
?
×
(
v
?
×
k
)
?
=
?
k
?
×
(
k
?
×
v
)
?
(15)
\vec{v_{\perp}} = \vec{k} \times(\vec{v}\times \vec{k)} = -\vec{k} \times(\vec{k}\times \vec{v)}\tag{15}
v⊥??=k×(v×k)?=?k×(k×v)?(15)
???????
~~~~~~~
???????根据几何关系，平行于旋转轴的分量在旋转时不会改变其幅度和方向，因此有：
v
?
r
o
t
∥
=
v
?
∥
(16)
\vec{v}_{rot\parallel} = \vec{v}_{\parallel} \tag{16}
vrot∥?=v∥?(16)
???????
~~~~~~~
???????解旋转后的垂直分量，由图中的几何关系可得
v
?
r
o
t
⊥
\vec{v}_{rot\perp}
vrot⊥?可以分解为
k
?
×
v
?
\vec{k} \times \vec{v}
k×v和
v
?
⊥
\vec{v}_{\perp}
v⊥?方向上两个分量相加，即
v
?
r
o
t
⊥
=
v
?
r
o
t
⊥
?
k
?
×
v
?
∣
k
?
×
v
?
∣
+
v
?
r
o
t
⊥
?
v
?
⊥
∣
v
?
⊥
∣
=
sin
?
θ
?
(
k
?
×
v
?
)
+
cos
?
θ
?
v
?
⊥
(17)
\begin{aligned} \vec{v}_{rot\perp} = \vec{v}_{rot\perp} \cdot \frac{\vec{k} \times \vec{v}}{ \vert \vec{k} \times \vec{v} \vert}+ \vec{v}_{rot\perp} \cdot \frac{\vec{v}_{\perp}}{\vert\vec{v}_{\perp\vert}} = \sin\theta * (\vec{k} \times \vec{v}) + \cos\theta * \vec{v}_{\perp} \tag{17} \end{aligned}
vrot⊥?=vrot⊥??∣k×v∣k×v?+vrot⊥??∣v⊥∣?v⊥??=sinθ?(k×v)+cosθ?v⊥??(17)
???????
~~~~~~~
???????将(12)(16)(17)式代入，有：
v
?
r
o
t
=
v
?
∥
+
cos
?
θ
?
(
v
?
?
v
?
∥
)
+
sin
?
θ
?
(
k
?
×
v
?
)
=
cos
?
θ
v
?
+
(
1
?
cos
?
θ
)
v
?
∥
+
sin
?
θ
(
k
?
×
v
?
)
=
v
?
cos
?
θ
+
(
1
?
cos
?
θ
)
(
k
?
?
?
v
?
)
?
k
?
+
sin
?
θ
?
k
?
×
v
?
=
式
5
\begin{aligned} \vec{v}_{rot}&= \vec{v}_{\parallel} + \cos\theta * (\vec{v} - \vec{v}_{\parallel}) + \sin\theta * (\vec{k} \times \vec{v})\\&=\cos\theta\vec{v} + (1 - \cos\theta)\vec{v}_\parallel + \sin\theta(\vec{k} \times \vec{v})\\&=\vec{v} \cos\theta + (1-\cos\theta)(\vec{k} \cdot\ \vec{v})\cdot \vec{k} + \sin\theta *\vec{k} \times \vec{v}&=式5 \end{aligned}
vrot??=v∥?+cosθ?(v?v∥?)+sinθ?(k×v)=cosθv+(1?cosθ)v∥?+sinθ(k×v)=vcosθ+(1?cosθ)(k??v)?k+sinθ?k×v?=式5?
???????
~~~~~~~
???????此式还可继续化简，变成矩阵形式：
v
?
r
o
t
=
v
?
cos
?
θ
+
(
1
?
cos
?
θ
)
(
k
?
?
?
v
?
)
?
k
?
+
sin
?
θ
?
k
?
×
v
?
=
v
?
?
v
?
+
v
?
cos
?
θ
+
(
1
?
cos
?
θ
)
(
k
?
?
?
v
?
)
?
k
?
+
sin
?
θ
?
k
?
×
v
?
=
v
?
?
(
1
?
cos
?
θ
)
v
?
+
(
1
?
cos
?
θ
)
(
k
?
?
?
v
?
)
?
k
?
+
sin
?
θ
?
k
?
×
v
?
=
v
?
+
(
1
?
cos
?
θ
)
(
(
k
?
?
v
?
)
k
?
?
(
k
?
?
k
?
)
v
?
)
+
sin
?
θ
?
k
?
×
v
?
=
v
?
+
sin
?
θ
k
?
×
v
?
+
(
1
?
cos
?
θ
)
k
?
×
(
k
?
×
v
?
)
\begin{aligned} \vec{v}_{rot} &= \vec{v} \cos\theta + (1-\cos\theta)(\vec{k} \cdot\ \vec{v})\cdot \vec{k} + \sin\theta *\vec{k} \times \vec{v} \\&= \vec{v} - \vec{v} + \vec{v} \cos\theta + (1-\cos\theta)(\vec{k} \cdot\ \vec{v})\cdot \vec{k} + \sin\theta *\vec{k} \times \vec{v} \\&= \vec{v} - (1-\cos\theta)\vec{v} +(1-\cos\theta)(\vec{k} \cdot\ \vec{v})\cdot \vec{k} + \sin\theta *\vec{k} \times \vec{v}\\&=\vec{v} + (1-\cos\theta)((\vec{k}\cdot\vec{v})\vec{k} - (\vec{k}\cdot\vec{k})\vec{v}) + \sin\theta *\vec{k} \times \vec{v} \\&=\vec{v}+\sin\theta\vec{k}\times\vec{v}+ (1-\cos\theta)\vec{k}\times(\vec{k}\times\vec{v}) \end{aligned}
vrot??=vcosθ+(1?cosθ)(k??v)?k+sinθ?k×v=v?v+vcosθ+(1?cosθ)(k??v)?k+sinθ?k×v=v?(1?cosθ)v+(1?cosθ)(k??v)?k+sinθ?k×v=v+(1?cosθ)((k?v)k?(k?k)v)+sinθ?k×v=v+sinθk×v+(1?cosθ)k×(k×v)?
???????
~~~~~~~
???????设
k
?
\vec{k}
k的叉积矩阵为
R
k
?
R_{\vec{k}}
Rk?，有：
v
?
r
o
t
=
v
?
+
sin
?
θ
R
k
?
?
v
?
+
(
1
?
cos
?
θ
)
R
k
?
?
R
k
?
?
v
?
=
(
I
+
sin
?
θ
R
k
?
+
(
1
?
cos
?
θ
)
R
k
?
2
)
?
v
?
=
M
v
?
\begin{aligned} \vec{v}_{rot} &= \vec{v} + \sin\theta R_{\vec{k}} * \vec{v} + (1-\cos\theta) R_{\vec{k}} *R_{\vec{k}} * \vec{v} \\&=(I + \sin\theta R_{\vec{k}} + (1-\cos\theta) R_{\vec{k}}^2) * \vec{v}\\&=M\vec{v} \end{aligned}
vrot??=v+sinθRk??v+(1?cosθ)Rk??Rk??v=(I+sinθRk?+(1?cosθ)Rk2?)?v=Mv?
???????
~~~~~~~
???????其中：
M
=
I
+
sin
?
θ
R
k
?
+
(
1
?
cos
?
θ
)
R
k
?
2
M = I + \sin\theta R_{\vec{k}} + (1-\cos\theta) R_{\vec{k}}^2
M=I+sinθRk?+(1?cosθ)Rk2?
???????
~~~~~~~
???????为三维空间中任意向量绕轴
k
?
\vec{k}
k逆时针旋转
θ
\theta
θ角度的旋转矩阵。
本文假定你对dos下的病毒和386PM有一定的了解。 1、感染任何一个病毒都需要有寄...
前言：解决Navicat连接Oracle数据库报错Cannot load OCI DLL问题，让Navicat成功...
如果你的计算机没有信息标签，本文将通过不同的方法在Windows 10中找到此信息。 ...
复制代码 代码如下: var editor = FCKeditorAPI.GetInstance("content"); editor...
基本模式匹配 一切从最基本的开始。模式，是正规表达式最基本的元素，它们是一组...
主要内容 Safari调试 swift/OC与JS互调 增加加载进度条 支持JS中alert、confirm...
包括复选框，单选按钮的使用 复制代码 代码如下: !DOCTYPE html PUBLIC "-//W3C/...
本文实例为大家分享了js实现滑块区间组件的具体代码，供大家参考，具体内容如下 ...
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四、XML应用分类 总的说来的XML的应用可分为四类： （1）应用于客户需要与不同的...
