NumPy之:多维数组中的线性代数

简介

本文将会以图表的形式为大家讲解怎么在NumPy中进行多维数据的线性代数运算。

多维数据的线性代数通常被用在图像处理的图形变换中 本文将会使用一个图像的例子进行说明。

图形加载和说明

熟悉颜色的朋友应该都知道 一个颜色可以用R G B来表示 如果更高级一点 那么还有一个A表示透明度。通常我们用一个四个属性的数组来表示。

对于一个二维的图像来说 其分辨率可以看做是一个X*Y的矩阵 矩阵中的每个点的颜色都可以用 R G B 来表示。

有了上面的知识 我们就可以对图像的颜色进行分解了。

首先需要加载一个图像 我们使用imageio.imread方法来加载一个本地图像 如下所示

import imageio
img imageio.imread( img.png )
print(type(img))

上面的代码从本地读取图片到img对象中 使用type可以查看img的类型 从运行结果 我们可以看到img的类型是一个数组。

class imageio.core.util.Array 

通过img.shape可以得到img是一个(80, 170, 4)的三维数组 也就是说这个图像的分辨率是80*170 每个像素是一个 R B G A 的数组。

最后将图像画出来如下所示

import matplotlib.pyplot as plt
plt.imshow(img)

图形的灰度

对于三维数组来说 我们可以分别得到三种颜色的数组如下所示

red_array img_array[:, :, 0]
green_array img_array[:, :, 1]
blue_array img_array[:, :, 2]

有了三个颜色之后我们可以使用下面的公式对其进行灰度变换

Y 0.2126R 0.7152G 0.0722B

上图中Y表示的是灰度。

怎么使用矩阵的乘法呢 使用 就可以了

img_gray img_array [0.2126, 0.7152, 0.0722]

现在img是一个80 * 170的矩阵。

现在使用cmap ”gray”作图

plt.imshow(img_gray, cmap gray )

可以得到下面的灰度图像

灰度图像的压缩

灰度图像是对图像的颜色进行变换 如果要对图像进行压缩该怎么处理呢

矩阵运算中有一个概念叫做奇异值和特征值。

设A为n阶矩阵 若存在常数λ及n维非零向量x 使得Ax λx 则称λ是矩阵A的特征值 x是A属于特征值λ的特征向量。

一个矩阵的一组特征向量是一组正交向量。

即特征向量被施以线性变换 A 只会使向量伸长或缩短而其方向不被改变。

特征分解 Eigendecomposition 又称谱分解 Spectral decomposition 是将矩阵分解为由其特征值和特征向量表示的矩阵之积的方法。

假如A是m * n阶矩阵 q min(m,n) A*A的q个非负特征值的算术平方根叫作A的奇异值。

特征值分解可以方便的提取矩阵的特征 但是前提是这个矩阵是一个方阵。如果是非方阵的情况下 就需要用到奇异值分解了。先看下奇异值分解的定义

A UΣV^TA UΣVT

其中A是目标要分解的m * n的矩阵 U是一个 m * m的方阵 Σ 是一个m * n 的矩阵 其非对角线上的元素都是0。V^TVT是V的转置 也是一个n * n的矩阵。

奇异值跟特征值类似 在矩阵Σ中也是从大到小排列 而且奇异值的减少特别的快 在很多情况下 前10%甚至1%的奇异值的和就占了全部的奇异值之和的99%以上了。也就是说 我们也可以用前r大的奇异值来近似描述矩阵。r是一个远小于m、n的数 这样就可以进行压缩矩阵。

通过奇异值分解 我们可以通过更加少量的数据来近似替代原矩阵。

要想使用奇异值分解svd可以直接调用linalg.svd 如下所示

U, s, Vt linalg.svd(img_gray)

其中U是一个m * m矩阵 Vt是一个n * n矩阵。

在上述的图像中 U是一个(80, 80)的矩阵 而Vt是一个(170, 170) 的矩阵。而s是一个80的数组 s包含了img中的奇异值。

如果将s用图像来表示 我们可以看到大部分的奇异值都集中在前的部分

这也就意味着 我们可以取s中前面的部分值来进行图像的重构。

使用s对图像进行重构 需要将s还原成80 * 170 的矩阵

# 重建
import numpy as np
Sigma np.zeros((80, 170))
for i in range(80):
 Sigma[i, i] s[i]

使用 U Sigma Vt 即可重建原来的矩阵 可以通过计算linalg.norm来比较一下原矩阵和重建的矩阵之间的差异。

linalg.norm(img_gray - U Sigma Vt)

或者使用np.allclose来比较两个矩阵的不同

np.allclose(img_gray, U Sigma Vt)

或者只取s数组的前10个元素 进行重新绘图 比较一下和原图的区别

k 10
approx U Sigma[:, :k] Vt[:k, :]
plt.imshow(approx, cmap gray )

可以看到 差异并不是很大

原始图像的压缩

上一节我们讲到了如何进行灰度图像的压缩 那么如何对原始图像进行压缩呢

同样可以使用linalg.svd对矩阵进行分解。

但是在使用前需要进行一些处理 因为原始图像的img_array 是一个(80, 170, 3)的矩阵–这里我们将透明度去掉了 只保留了R B G三个属性。

在进行转换之前 我们需要把不需要变换的轴放到最前面 也就是说将index 2 换到index 0的位置 然后进行svd操作

img_array_transposed np.transpose(img_array, (2, 0, 1))
print(img_array_transposed.shape)
U, s, Vt linalg.svd(img_array_transposed)
print(U.shape, s.shape, Vt.shape)

同样的 现在s是一个(3, 80)的矩阵 还是少了一维 如果重建图像 需要将其进行填充和处理 最后将重建的图像输出

Sigma np.zeros((3, 80, 170))
for j in range(3):
 np.fill_diagonal(Sigma[j, :, :], s[j, :])
reconstructed U Sigma Vt
print(reconstructed.shape)
plt.imshow(np.transpose(reconstructed, (1, 2, 0)))

当然 也可以选择前面的K个特征值对图像进行压缩

approx_img U Sigma[..., :k] Vt[..., :k, :]
print(approx_img.shape)
plt.imshow(np.transpose(approx_img, (1, 2, 0)))

重新构建的图像如下

对比可以发现 虽然损失了部分精度 但是图像还是可以分辨的。

总结

图像的变化会涉及到很多线性运算 大家可以以此文为例 仔细研究。

本文已收录于 http://www.flydean.com/08-python-numpy-linear-algebra/

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