F#实现Runge–Kutta算法求解常微分方程

? ? 现实当中的不少物理问题、工程问题都涉及到微分方程 其中微分方程有常微分方程 Ordinary Differential Equation)和偏微分方程(Partial Differential Equation)之分。一般来说 所谓的常微分方程是指只有一个自变量的方程 如 u 2*u x 2 。

? ? 不少工程问题中涉及的微分方程 我们很难求出方程的解析解 或者说根本不存在精确的解析解。此时 我们需要利用电脑 结合数值分析的方法来近似求出微分方程的相关解 并研究其性质。通过求出多个自变量的值 并求出对应的解 那么可以绘制出图形来辅助研究方程的特征。

1 Runge–Kutta算法

? ? 根据百度百科的相关介绍 龙格-库塔(Runge-Kutta)方法是一种在工程上应用广泛的高精度单步算法。由于此算法精度高 采取措施对误差进行抑制 所以其实现原理也较复杂。该算法是构建在数学分析的基础之上的。一般的Runge-Kutta算法的形式如下 ?

这个公式看起来也比较的抽象 在实际计算中 一般采用4阶Runge-Kutta算法进行求值 其计算公式如下

?为了更加直观 这里选择一个示例 假设有如下的一个微分方程需要进行求解:

?此时 我们需要计算一下u(0.2 对应的方程解是什么 那么此示例的解题过程如下:

? 实际上 本微分方程的解析解表达式为:

? 即解析式的解近似为 1.3472599 而4阶Runge-Kutta算法进行求值的结果为1.3472。由此可知 精确度还是可以的。上述示例来自网址 :

? http://www.public.asu.edu/~hhuang38/example_Runge-Kutta.pdf

2 F# Runge–Kutta算法实现

? ? 下面给出F#的算法实现 示例代码如下

 let odeInt f (a:float) (b:float) x0 f0 
 let n 5
 let h (b-a)/float(n)
 let x [| for i in 0 .. n - a float(i) * h |]
 let u [| for i in 0 .. (n 1) - 0. |]
 u.[0] - f0
 for i 0 to n do
 let k1 f(x.[i], u.[i])
 let k2 f(x.[i] h / 2. , u.[i] k1*h / 2.)
 let k3 f(x.[i] h / 2. , u.[i] k2*h / 2.)
 let k4 f(x.[i] h , u.[i] k3*h)
 u.[i 1] - u.[i] (k1 2.*(k2 k3) k4) * h / 6.
 (x,u)

3 测试

? ? 下面给出测试示例 代码如下

 let testODEInt 
 let f1(x,u) -2.*u x 4.
 let dx,du odeInt f1 0. 1.0 0. 1.
 printfn %A dx 
 printfn %A du 

执行示例代码 结果如下:

[|0.0; 0.2; 0.4; 0.6; 0.8; 1.0|]
[|1.0; 1.3472; 1.61292288; 1.824023499; 1.998505354; 2.148437989; 2.281912828|]

?由此可知 在0.2时 u(x)值为1.3472 与示例一致。

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