聚类分析

一、概念

聚类分析是按照个体的特征将他们分类，让同一个类别内的个体之间具有较高的相似度，不同类别之间具有较大的差异性

• 聚类分析属于无监督学习
• 聚类对象可以分为Q型聚类和R型聚类

Q型聚类：样本/记录聚类 以距离为相似性指标 (欧氏距离、欧氏平方距离、马氏距离、明式距离等)

R型聚类：指标/变量聚类 以相似系数为相似性指标 (皮尔逊相关系数、夹角余弦、指数相关系数等)

二、常用的聚类算法

• K-Means划分法
• 层次聚类法
• DBSCAN密度法

1、K-Means划分法

K表示聚类算法中类的个数，Means表示均值算法，K-Means即是用均值算法把数据分成K个类的算法。

K-Means算法的目标，是把n个样本点划分到k个类中，使得每个点都属于离它最近的质心(一个类内部所有样本点的均值)对应的类，以之作为聚类的标准。

K-Means算法的计算步骤

• 取得k个初始质心：从数据中随机抽取k个点作为初始聚类的中心，来代表各个类
• 把每个点划分进相应的类：根据欧式距离最小原则，把每个点划分进距离最近的类中
• 重新计算质心：根据均值等方法，重新计算每个类的质心
• 迭代计算质心：重复第二步和第三步，迭代计算
• 聚类完成：聚类中心不再发生移动

基于sklearn包的实现

导入一份如下数据，经过各变量间的散点图和相关系数，发现工作日上班电话时长与总电话时长存在强正相关关系。

选择可建模的变量并降维。

cloumns_fix1 = ['工作日上班时电话时长', '工作日下半时电话时长',  
    '周末电话时长', '国际电话时长', '平均每次通话时长'] 
 
#数据降维 
pca_2 = PCA(n_components=2) 
data_pca_2 = pd.DataFrame(pca_2.fit_transform(data[cloumns_fix1])) 

通过sklearn包中的K-Means方法构建模型。

#绘制散点图查看数据点大致情况 
plt.scatter(data_pca_2[0],data_pca_2[1]) 
 
#预计将数据点分类为3类 
kmmodel = KMeans(n_clusters=3) #创建模型 
kmmodel = kmmodel.fit(data[cloumns_fix1]) #训练模型 
ptarget = kmmodel.predict(data[cloumns_fix1]) #对原始数据进行标注 
 
pd.crosstab(ptarget,ptarget) #交叉表查看各个类别数据的数量 

plt.scatter(data_pca_2[0],data_pca_2[1],c=ptarget)#查看聚类的分布情况。

最后，可以通过直方图查看各聚类间的差异。

#查看各类之间的差异 
dMean = pd.DataFrame(columns=cloumns_fix1+['分类']) #得到每个类别的均值 
data_gb = data[cloumns_fix1].groupby(ptarget) #按标注进行分组 
 
i = 0 
for g in data_gb.groups: 
    rMean = data_gb.get_group(g).mean()  
    rMean['分类'] = g; 
    dMean = dMean.append(rMean, ignore_index=True) 
    subData = data_gb.get_group(g) 
    for column in cloumns_fix1: 
        i = i+1; 
        p = plt.subplot(3, 5, i) 
        p.set_title(column) 
        p.set_ylabel(str(g) + "分类") 
        plt.hist(subData[column], bins=20) 

2、 层次聚类法

层次聚类算法又称为树聚类算法，它根据数据之间的距离，透过一种层次架构方式，反复将数据进行聚合，创建一个层次以分解给定的数据集。层次聚类算法常用于一维数据的自动分组。

层次聚类算法是一种很直观的聚类算法，基本思想是通过数据间的相似性，按相似性由高到低排序后重新连接各个节点，整个过程就是建立一个树结构，如下图：

层次聚类算法的步骤：

• 每个数据点单独作为一个类
• 计算各点之间的距离(相似度)
• 按照距离从小到大(相似度从强到弱)连接成对(连接后按两点的均值作为新类继续计算)，得到树结构

基于sklearn包的实现

使用K-Means聚类案例中的数据。

cloumns_fix1 = ['工作日上班时电话时长', '工作日下半时电话时长',  
    '周末电话时长',  
    '国际电话时长', '平均每次通话时长'] 
 
linkage = hcluster.linkage(data[cloumns_fix1], method='centroid') #中心点距离计算，得到矩阵 

linkage = scipy.cluster.hierarchy.linkage(data, method='single') 

method 类距离计算公式有三种参数：

• single 两个类之间最短距离的点的距离
• complete 两个类之间最长距离的点的距离
• centroid 两个类所有点的中点的距离

#层次聚类绘图 
hcluster.dendrogram(linkage)  #不设置参数时会将所有点做为一个基础的类进行树结构的绘制 
 
#由于数据量大，限制类的个数,保留12个节点，有括号表示副节点，括号内的数字为该节点内部包含的子节点 
hcluster.dendrogram(linkage, truncate_mode='lastp', p=12, leaf_font_size=12.) 

#对聚类得到的类进行标注 层次聚类的结果，要聚类的个数，划分方法 
（maxclust，最大划分法）ptarget = hcluster.fcluster(linkage, 3,  
criterion='maxclust')#查看各类别中样本含量 
pd.crosstab(ptarget,ptarget) 

绘制图形

#使用主成分分析进行数据降维 
pca_2 = PCA(n_components=2) 
data_pca_2 = pd.DataFrame(pca_2.fit_transform(data[cloumns_fix1])) 
 
plt.scatter(data_pca_2[0], data_pca_2[1], c=ptarget) #绘制图形 

3、 DBSCAN密度法

概念：

• 中文全称：基于密度的带噪声的空间聚类应用算法，它是将簇定义为密度相联的点的最大集合，能够把具有足够高密度的区域划分为簇，并可在噪声的空间数据集中发现任意形状的聚类。
• 密度：空间中任意一点的密度是以该点为圆心，以Eps为半径的园区域内包含的点数目。
• 邻域：空间中任意一点的邻域是以该店为圆心，以Eps为半径的园区域内包含的点集合。
• 核心点：空间中某一点的密度，如果大于某一给定阈值MinPts，则称该点为核心点。(小于MinPts则称边界点)
• 噪声点：既不是核心点，也不是边界点的任意点

DBSCAN算法的步骤：

• 通过检查数据集中每点的Eps邻域来搜索簇，如果点p的Eps邻域内包含的点多于MinPts个，则创建一个以p为核心的簇
• 通过迭代聚集这些核心点p距离Eps内的点，然后合并成为新的簇(可能)
• 当没有新点添加到新的簇时，聚类完成

DBSCAN算法优点：

• 聚类速度快且能够有效处理噪声点发现任意形状的空间聚类
• 不需要输入要划分的聚类个数
• 聚类簇的形状没有偏倚
• 可以在需要是过滤噪声

DBSCAN算法缺点：

• 数据量大时，需要较大的内存和计算时间
• 当空间聚类的密度不均匀、聚类间距差较大时，得到的聚类质量较差(MinPts与Eps选取困难)
• 算法效果依赖距离公式选择，实际应用中常使用欧式距离，对于高纬度数据，存在“维度灾难” https://baike.baidu.com/item/维数灾难/6788619?fr=aladdin

python中的实现

1)数学原理实现

导入一份如下分布的数据点的集合。

#计算得到各点间距离的矩阵 
from sklearn.metrics.pairwise import euclidean_distances 
dist = euclidean_distances(data) 

将所有点进行分类，得到核心点、边界点和噪声点。

#设置Eps和MinPts 
eps = 0.2 
MinPts = 5 
 
ptses = [] 
for row in dist:   #密度    density = np.sum(row<eps)  
    pts = 0 
    if density>MinPts:    #核心点,密度大于5       
        pts = 1 
    elif density>1 :   #边界点，密度大于1小于5 
        pts = 2 
    else:    #噪声点，密度为1 
        pts = 0 
    ptses.append(pts) 
#得到每个点的分类 

以防万一，将噪声点进行过滤，并计算新的距离矩阵。

#把噪声点过滤掉，因为噪声点无法聚类，它们独自一类 
corePoints = data[pandas.Series(ptses)!=0] 
coreDist = euclidean_distances(corePoints) 

以每个点为核心，得到该点的邻域。

cluster = dict() 
i = 0 
for row in coreDist:  
    cluster[i] = numpy.where(row<eps)[0] 
    i = i + 1 

然后，将有交集的邻域，都合并为新的领域。

for i in range(len(cluster)): 
    for j in range(len(cluster)): 
        if len(set(cluster[j]) & set(cluster[i]))>0 and i!=j: 
            cluster[i] = list(set(cluster[i]) | set(cluster[j])) 
            cluster[j] = list() 

最后，找出独立(也就是没有交集)的邻域，就是我们最后的聚类的结果了。

result = dict() 
j = 0 
for i in range(len(cluster)): 
  if len(cluster[i])>0: 
    result[j] = cluster[i] 
    j = j + 1 
 
#找出每个点所在领域的序号，作为他们最后聚类的结果标记 
for i in range(len(result)): 
    for j in result[i]: 
        data.at[j, 'type'] = i 
  
plt.scatter(data['x'], data['y'], c=data['type']) 

2)基于sklearn包的实现

eps = 0.2 
MinPts = 5 
 
model = DBSCAN(eps, MinPts) 
 
data['type'] = model.fit_predict(data) 
 
plt.scatter(data['x'],  data['y'], c=data['type']) 

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